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Oscillateur de Dunkl

L'oscillateur de Dunkl est un systÚme développé dans le cadre de la physique mathématique, décrit par les lois de la mécanique quantique et qui correspond essentiellement à un oscillateur harmonique, à la différence prÚs que le terme d'énergie cinétique n'est pas une dérivée seconde, mais un opérateur de Dunkl (en) appliqué deux fois. En une dimension, l'hamiltonien du systÚme est

avec les paramĂštres et de l'oscillateur harmonique et oĂč est l'opĂ©rateur de Dunkl en , dĂ©fini par

oĂč est une constante, est l'opĂ©rateur identitĂ© et est l'opĂ©rateur de rĂ©flexion par rapport Ă  , dĂ©fini par .

RĂ©solution

La résolution algébrique de ce systÚme a été faite en détail[1]. En voici les grandes lignes.

En une dimension

Le spectre énergétique de l'hamiltonien ci dessus est le suivant.

avec . Les fonctions d'ondes propres correspondantes sont

oĂč et oĂč est un polynĂŽme de Hermite gĂ©nĂ©ralisĂ©, dĂ©fini par

oĂč est un polynĂŽme de Laguerre gĂ©nĂ©ralisĂ© Ă©valuĂ© en .

Ces fonctions d'ondes propres sont orthonormées dans l'espace pondéré par le produit scalaire

AlgĂšbre dynamique

Les opérateurs d'annihiliation et de création de l'oscillateur de Dunkl en une dimension sont respectivement

et .

En effet, et (ces deux relations justifient le fait que les quanta d'Ă©nergie du systĂšme soient ). De plus,

, , et .

Ces relations de commutation et d'anti-commutation (le commutateur et l'anti-commutateur de deux opérateurs et étant définis respectivement par et ) engendrent l'algÚbre dynamique du systÚme, qui est [2].

Dans le plan (en deux dimensions)

L'hamiltonien de ce systĂšme est

avec

et une dĂ©finition analogue pour . Dans le cas (isotrope) oĂč , ce systĂšme est invariant sous les transformations du groupe .

Séparabilité en coordonnées cartésiennes

L'équation de Schrödinger correspondante à cet hamiltonien est trivialement séparable en coordonnées cartésiennes. Son spectre énergétique, exprimé dans ce systÚme de coordonnées, est le suivant (obtenu simplement en additionnant les spectres des systÚmes unidimensionnels correspondants, en et en , obtenus plus haut) :

avec .

Ce spectre est Ă©videmment dĂ©gĂ©nĂ©rĂ©, ce qui peut ĂȘtre expliquĂ© par la prĂ©sence de symĂ©tries et d'un algĂšbre de Lie qui dĂ©crit celles-ci. Ceci sera discutĂ© en dĂ©tail dans deux sous-sections.

Les fonctions d'ondes propres correspondantes sont les suivantes (obtenues en multipliant les fonctions d'ondes propres correspondantes, en une dimension) :

Séparabilité en coordonnées polaires

L'équation de Schrödinger correspondantes à ce systÚme est également séparable en coordonnées polaires (avec et tels que et ). En effet,

oĂč et .

En posant comme constante de séparation et comme fonction d'onde à variables séparables en coordonnées polaires, il découle les équations aux valeurs propres suivantes :

et oĂč est l'Ă©nergie de l'Ă©tat du systĂšme ayant pour nombres quantiques et est un entier positif ou nul ou un demi-entier positif.

Les fonctions propres (sous condition de normalisation) s'expriment en termes de polynÎmes de Laguerre généralisées et les fonctions propres (sous condition de normalisation et de continuité sur le cercle) , en termes de polynÎmes de Jacobi.

Le spectre énergétique, quant à lui et en termes de et , est .

AlgĂšbre dynamique

De façon analogue au cas unidimensionnel du problÚme (abordé à la section précédente), ce systÚme possÚde des opérateurs d'échelle, donnés par

et

oĂč . Il en dĂ©coule les relations de commutation et d'anti-commutation suivantes :

et , ,
, ,

et avec indépendance des opérateurs ne dépendant que de par rapport à ceux qui ne dépendent que de (c'est-à-dire que si et sont deux tels opérateurs, ).

Ces relations de commutation et d'anti-commutation engendrent l'algÚbre dynamique du systÚme, qui est simplement deux copies indépendantes de celui trouvé à la section précédente, c'est-à-dire .

AlgÚbre de symétrie et superintégrabilité

En s'inspirant de la construction de Schwinger[3], les opérateurs suivants sont introduits :

, et .

Ces trois opérateurs sont des symétries du systÚme (ils commutent avec l'hamiltonien ), ce qui démontre en passant la superintégrabilité maximale du systÚme (puisqu'il y présence 3 symétrie indépendantes du systÚme et que son nombre de degrés de liberté est 2). Par la propriété des opérateurs de réflexion, il découle d'un calcul direct les relations de commutation et d'anti-commutation suivantes :

, , ,
et .

Ces relations de commutation engendrent l'algÚbre de symétrie du systÚme, qui est l'algÚbre de Schwinger-Dunkl . Cet algÚbre est la déformation de l'algÚbre de lie sous les involutions et .

Références

  1. (en) V.X. Genest, M.E. Ismail, L. Vinet et A. Zhedanov, « The Dunkl oscillator in the plane: I. Superintegrability, separated wavefunctions and overlap coefficients », Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, vol. 46, no 14,‎
  2. (en) S. Tsujimoto, L. Vinet et A. Zhedanov, « From sl_q(2) to a parabosonic Hopf algebra », SIGMA. Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Application, vol. 7,‎
  3. (en) Julian Schwinger, On angular momentum, Academic Press,
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