Polynôme de Jacobi

En mathématiques, les polynômes de Jacobi sont une classe de polynômes orthogonaux. Ils sont obtenus à partir des séries hypergéométriques dans les cas où la série est en fait finie :

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,_{2}F_{1}\left(-n,1+\alpha +\beta +n;\alpha +1;{\frac {1-z}{2}}\right),}$

où ${\displaystyle (\alpha +1)_{n}\,}$ est le symbole de Pochhammer pour la factorielle croissante, (Abramowitz & Stegun p561.) et ainsi, nous avons l'expression explicite

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m},}$

pour laquelle la valeur finale est

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1)={n+\alpha \choose n}.}$

Ici, pour l'entier ${\displaystyle n\,}$

${\displaystyle {z \choose n}={\frac {\Gamma (z+1)}{\Gamma (n+1)\Gamma (z-n+1)}},}$

et ${\displaystyle \Gamma (z)\,}$ est la fonction gamma usuelle, qui possède la propriété ${\displaystyle 1/\Gamma (n+1)=0\,}$ pour ${\displaystyle n=-1,-2,\dots \,}$. Ainsi,

${\displaystyle {z \choose n}=0\quad {\hbox{pour}}\quad n<0.}$

Les polynômes ont la relation de symétrie ${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-z)=(-1)^{n}P_{n}^{(\beta ,\alpha )}(z)}$ ; ainsi, l'autre valeur finale est

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-1)=(-1)^{n}{n+\beta \choose n}.}$

Pour un nombre réel ${\displaystyle x}$, le polynôme de Jacobi peut être écrit alternativement sous la forme

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=\sum _{s}{n+\alpha \choose s}{n+\beta \choose n-s}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s}}$

où ${\displaystyle s\geq 0\,}$ et ${\displaystyle n-s\geq 0\,}$.

Dans le cas particulier où les quatre quantités ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle n+\alpha }$, ${\displaystyle n+\beta }$ et ${\displaystyle n+\alpha +\beta }$ sont des nombres entiers positifs, le polynôme de Jacobi peut être écrit sous la forme

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=(n+\alpha )!(n+\beta )!\sum _{s}\left[s!(n+\alpha -s)!(\beta +s)!(n-s)!\right]^{-1}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s}.}$

La somme sur ${\displaystyle s\,}$ s'étend sur toutes les valeurs entières pour lesquelles les arguments des factorielles sont positives.

Cette forme permet l'expression de la matrice D de Wigner ${\displaystyle d_{m'm}^{j}(\phi )\;}$ (${\displaystyle 0\leq \phi \leq 4\pi }$) en termes de polynômes de Jacobi[1]

${\displaystyle d_{m'm}^{j}(\phi )=\left[{\frac {(j+m)!(j-m)!}{(j+m')!(j-m')!}}\right]^{1/2}\left(\sin {\frac {\phi }{2}}\right)^{m-m'}\left(\cos {\frac {\phi }{2}}\right)^{m+m'}P_{j-m}^{(m-m',m+m')}(\cos \phi ).}$

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