Exemples d'espaces vectoriels

L'exemple le plus simple d'espace vectoriel est l'espace nul {0}, qui ne contient que le vecteur nul (voir l'axiome 3. des espaces vectoriels). L'addition vectorielle et la multiplication par un scalaire sont triviales. Une base de cet espace vectoriel est l'ensemble vide, ∅ = { }. Ainsi {0} est l'espace vectoriel de dimension 0 sur K. Tout espace vectoriel sur K contient un sous-espace vectoriel isomorphe à celui-ci.

Le prochain exemple simple est le corps K lui-même. L'addition vectorielle est simplement l'addition du corps et la multiplication par un scalaire est la multiplication du corps. Tout élément non nul de K forme une base de K et ainsi le triplet (K, +, ∙) est une K-droite vectorielle, c'est-à-dire un espace vectoriel de dimension 1 sur le corps K.

K a seulement deux sous-espaces : {0} et K lui-même.

L'exemple le plus important d'espace vectoriel est sans doute celui qui suit. Pour tout entier naturel strictement positif n, l'ensemble des n-uplets d'éléments de K forme un espace vectoriel[1] de dimension n sur K appelé l'espace des n-uplets, noté Kⁿ. Un élément de Kⁿ s'écrit :

${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,}$

où chaque ${\displaystyle x_{i}}$ est un élément de K. Les opérations sur Kⁿ sont définies par :

${\displaystyle x+y=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots ,x_{n}+y_{n})\,}$

${\displaystyle \alpha x=(\alpha x_{1},\alpha x_{2},\ldots ,\alpha x_{n})\,}$

L'élément neutre pour l'addition est :

${\displaystyle 0=(0,0,\ldots ,0)\,}$

et l'opposé d'un élément ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ est le vecteur

${\displaystyle -x=(-x_{1},-x_{2},\ldots ,-x_{n}).}$

Les cas les plus fréquents sont ceux où K est ou bien le corps des nombres réels donnant l'espace euclidien ℝⁿ, ou bien le corps des nombres complexes donnant ℂⁿ.

Les ensembles des quaternions et des octonions sont respectivement des espaces vectoriels de dimension quatre et huit sur le corps des nombres réels.

L'espace vectoriel Kⁿ est muni d'une base naturelle appelée base canonique :

${\displaystyle e_{1}=(1,0,\ldots ,0)\,}$

${\displaystyle e_{2}=(0,1,\ldots ,0)\,}$

${\displaystyle \vdots \,}$

${\displaystyle e_{n}=(0,0,\ldots ,1)\,}$

où 1 désigne l'élément neutre multiplicatif de K.

Étant donnés deux entiers naturels m et n fixés, l'ensemble M_{m, n}(K) des matrices à coefficients dans K à m lignes et n colonnes, muni de l'addition des matrices et de la multiplication par un scalaire des matrices (consistant à multiplier chaque coefficient par un même scalaire) est un espace vectoriel sur K. Le vecteur nul n'est autre que la matrice nulle.

Cet espace est isomorphe à l'espace K^mn : en mettant bout à bout les m lignes (n-uplets) d'une matrice, on forme un mn-uplet. Par cet isomorphisme, la base canonique de K^mn correspond à la base canonique de M_{m, n}(K), constituée des matrices ayant un seul coefficient égal à 1 et tous les autres coefficients égaux à 0. La dimension de M_{m, n}(K) est donc égale à mn.

On munit l'ensemble K^ℕ des suites d'éléments de K d'une structure d'espace vectoriel en définissant une addition et une multiplication par un scalaire terme à terme, comme sur l'espace vectoriel des n-uplets.

Dans cet espace K^ℕ, le sous-ensemble K^(ℕ) des suites à support fini constitue un sous-espace vectoriel. Ce sont les suites dont tous les termes sont nuls sauf un nombre fini d'entre eux. Plus explicitement, si nous écrivons un élément de K^ℕ sous la forme x = (x₀, x₁, x₂, …) alors la suite x appartient à K^(ℕ) si seulement un nombre fini d'indices n correspondent à un terme x_n non nul (autrement dit les coordonnées du vecteur x deviennent nulles à partir d'un certain rang).

L'espace vectoriel K^(ℕ) est de dimension infinie dénombrable. Sa base canonique est formée par les vecteurs e_i qui comportent un 1 à la i-ième place et des 0 partout ailleurs. Cet espace vectoriel est la somme directe d'un nombre dénombrable de copies de l'espace vectoriel K.

Contrairement à ce sous-espace K^(ℕ) des suites à supports fini, l'espace K^ℕ des suites quelconques est de dimension infinie non dénombrable et il n'y a pas de choix évident de bases. Puisque leurs dimensions sont différentes, les espaces K^ℕ et K^(ℕ) ne sont pas isomorphes.

K^ℕ est le produit direct d'un nombre dénombrable de copies de K. C'est donc l'espace dual de K^(ℕ). Ceci explique cela car – contrairement à un espace de dimension finie – un espace vectoriel de dimension infinie n'est jamais isomorphe à son dual.

L'espace K^ℕ des suites à valeurs dans K se généralise en remplaçant l'ensemble ℕ des indices de suites par un ensemble de départ X quelconque et/ou l'ensemble d'arrivée K par un espace vectoriel arbitraire E sur K. L'ensemble E^X de toutes les applications de X dans E est un espace vectoriel sur K avec l'addition et la multiplication par un scalaire des fonctions.

Ces lois sont définies de la manière suivante : considérons ${\displaystyle f:X\rightarrow E}$ et ${\displaystyle g:X\rightarrow E}$ deux fonctions, et ${\displaystyle \alpha \in K}$. On pose :

${\displaystyle \forall x\in X,(f+g)(x)=f(x)+g(x)\,}$

${\displaystyle \forall x\in X,(\alpha f)(x)=\alpha f(x)\,}$

où les lois + et ∙ apparaissant dans le second membre sont celle de E. Le vecteur nul est la fonction constante nulle envoyant tous les éléments de X sur le vecteur nul de E.

Si X est fini et E est un espace vectoriel de dimension finie alors l'espace vectoriel des fonctions de X dans E est de dimension ${\displaystyle |X|\times {\rm {dim}}E}$, sinon l'espace vectoriel est de dimension infinie (non dénombrable si X est infini).

Lorsque X = ∅, on retrouve l'espace nul.

Lorsque E = K, on retrouve pour X = {1, … , n} l'espace de n-uplets Kⁿ, donc pour X égal au produit cartésien {1, … , m}×{1, … , n}, l'espace de matrices M_m,n(K).

Beaucoup d'espaces vectoriels considérés en mathématiques sont des sous-espaces d'espaces fonctionnels. Donnons d'autres exemples.

Supposons que K soit un sous-corps de L (voir extension de corps). Alors L peut être vu comme un espace vectoriel sur K en restreignant la multiplication par un scalaire à l'ensemble K (l'addition vectorielle étant définie normalement). La dimension de cet espace vectoriel est appelée degré de l'extension. Par exemple l'ensemble ℂ des nombres complexes forme un espace vectoriel de dimension deux sur le corps ℝ des réels. C'est donc une extension de degré 2 sur ℝ.

Quant à l'ensemble ℝ des nombres réels, il forme un espace vectoriel de dimension infinie non dénombrable sur le corps ℚ des rationnels.

Si E est un espace vectoriel sur L, alors E peut être aussi vu comme un espace vectoriel sur K. Les dimensions sont liées par la formule :

${\displaystyle {\rm {dim}}_{K}E=\left({\rm {dim}}_{L}E\right)\left({\rm {dim}}_{K}L\right)}$

Par exemple ℂⁿ peut être considéré comme un espace vectoriel sur le corps des réels, de dimension 2n.