Accueil🇫🇷Chercher

Équation de Fermat généralisée

En arithmétique, l'équation de Fermat généralisée est l'équation

sont des entiers non nuls, sont des entiers non nuls premiers entre eux et sont entiers.

Comme son nom le laisse transparaître, cette équation généralise l'équation dont le fameux dernier théorème de Fermat établit l'impossibilité quand . À l'instar de celui-ci avant sa résolution, son principal intérêt réside aujourd'hui dans la stimulation du développement des nouveaux outils mathématiques nécessaires à son appréhension. Parmi ces outils, se trouvent les courbes de Frey, les formes modulaires et les représentations de Galois. À ce titre, le sujet des équations de Fermat généralisées profite fortement des ponts jetés entre arithmétique et théorie des représentations par le programme de Langlands. Certaines approches cyclotomiques ont aussi été avancées, mais aucune ne semble suffisamment puissante.

L'équation de Fermat généralisée se réfère parfois à la seule équation ou à la seule équation . Cette dernière est la plus étudiée et au moins deux conjectures non résolues s'y rapportent : la conjecture de Fermat-Catalan et la conjecture de Beal.

Définitions

On appelle la signature et la caractéristique de l'équation . On distingue plusieurs grands cas selon la caractéristique, nommés par analogie avec la classification des espaces selon leur courbure :

  • , le cas sphérique. est à permutation près ou .
  • , le cas euclidien (ou parabolique). est à permutation près , ou .
  • , le cas hyperbolique.

De par le nombre relativement faible de valeurs de les concernant, les cas sphérique et euclidien sont aujourd'hui bien compris. Le cas hyperbolique est donc celui qui fait l'objet du plus de recherches.

Conjectures

Conjecture de Fermat-Catalan

La conjecture de Fermat-Catalan ou conjecture de Fermat généralisée s'énonce

ne prend qu'un nombre fini de valeurs parmi toutes les solutions à avec des entiers premiers entre eux et des entiers tels que .

Il est nécessaire de demander une infinité de valeurs pour et non une infinité de valeurs pour car fournit cette infinité sans être toutefois intéressant.

Nous connaissons aujourd'hui 10 solutions à cette équation. Voir Cas hyperbolique.

Henri Darmon offrira dollars canadiens à quiconque trouvera une nouvelle solution à [1].

Conjecture de Beal

La conjecture de Beal s'énonce

Si , avec et , tous des entiers, alors possèdent un facteur commun.

Autrement dit, la conjecture de Beal est vraie si et seulement si toutes les solutions de l'équation de Fermat généralisée avec utilisent au moins une fois comme exposant.

Elle porte le nom d'Andrew Beal, banquier millionnaire américain et mathématicien amateur, qui la formula en 1993 dans un but de généralisation du dernier théorème de Fermat. Il l'a dotée en 1997 d'un prix monétaire en échange d'une preuve ou d'un contre-exemple. Le prix, qui s'élève aujourd'hui à 1 million de dollars, est détenu par la Société Américaine de Mathématiques[2].

Elle est parfois aussi appelée conjecture de Tijdeman et Zagier car eux aussi l'ont formulée en 1994. Si Andrew Beal l'a vraisemblablement formulée indépendamment, des questions très proches étaient déjà discutées par les chercheurs du domaine si bien que son origine exacte reste incertaine. Certains auteurs la font remonter à des discussions d'Andrew Granville datant de 1985.

Relations avec d'autres conjectures

La conjecture de Beal implique le dernier théorème de Fermat. En effet, à toute solution de correspond une solution respectant . Elle s'obtient en divisant par leur plus grand facteur commun.

La conjecture abc implique la conjecture de Fermat-Catalan et implique la conjecture de Beal à un nombre fini d'exceptions près.

Remarques générales

Quand apparait comme exposant, il peut être toujours remplacé par pour tout entier naturel puisqu'une puissance -ième est aussi une puissance -ième. Cela permet souvent de ne traiter que les cas et .

Si , la condition équivaut à la condition car tout entier divisant facteur de deux termes parmi divise aussi le troisième.

Si , alors

  • et jouent des rôles symétriques et peuvent donc être échangés.
  • Si est impair, alors résoudre l'équation de signature équivaut à résoudre celle de signature en remplaçant par .
  • Ensemble, ces deux remarques font que, si au moins deux entiers parmi sont impairs, l'équation de signature équivaut à toutes celles dont la signature est une permutation de .

La condition est là pour éviter qu'un terme de l'équation ne disparaisse. Dans le cas où il n'y a que deux termes, l'équation est très facile à résoudre.

La condition s'explique par le fait qu'on peut obtenir facilement d'au moins deux manières une infinité de solutions inintéressantes[1] - [3] :

  • si sont premiers entre eux, alors il existe par le théorème des restes chinois tels que de sorte qu'à tous tels que on puisse associer une solution de l'équation de Fermat généralisée (qui s'obtient en multipliant les deux membres de l'égalité par ).
  • À toute solution correspond une infinité de solutions définies par .

Les tableaux de résultat sur cette page ne consignent que les solutions primitives non triviales. Lorsque l'exposant est pair, les différents signes sont omis. On utilisera la notation pour signifier que toutes les permutations de sont considérées.

Cas sphérique

Frits Beukers a démontré que, à fixé, soit il n'y a aucune solution, soit il y en a une infinité[4].

Si , nous disposons d'un nombre fini de paramétrisations polynomiales à coefficients entiers à deux variables[3] générant toutes les solutions :

sous-cas date auteurs notes ( sont des entiers non nuls premiers entre eux)
Les solutions sont les triplets pythagoriciens :
quelconque Une paramétrisation : . Voir Théorème des deux carrés de Fermat
C'est un cas facile à résoudre
Louis Mordell[5]
Don Zagier[5]
4 paramétrisations polynomiales
2004 Johnny Edwards[6] 27 paramétrisations polynomiales

Cas euclidien

Si , nous avons les résultats suivants

sous-cas date auteurs notes
2014 Michael Bennett, Imin Chen, Sander Dahmen, Soroosh Yazdani[7] Une solution,
~1640 Pierre de Fermat Aucune solution. Voir Théorème de Fermat sur les triangles rectangles
1738 Leonhard Euler[8]
1760 Aucune solution. Découle du dernier théorème de Fermat

Cas hyperbolique

Le théorème de Darmon-Granville[9] assure qu'il n'y a qu'un nombre fini de solutions à l'équation à fixé si .

Alain Kraus donne des bornes supérieures explicites (dépendant de ) sur les nombres premiers tels que l'équation a des solutions primitives non triviales[10].

Dong Quan Ngoc Nguyen a montré en 2012, en utilisant l'obstruction de Brauer-Manin (en), que, pour tout , il existe une infinité de courbes de Fermat généralisées de signature violant le principe de Hasse[11] ; c'est-à-dire qu'il existe une infinité de triplets tels que l'équation a des solutions dans pour tout nombre premier mais aucune solution dans .

Résultats partiels quand min(p, q, r) = 2

Quand , l'équation admet toujours la solution dite de Catalan . Celle-ci est systématiquement omise dans le tableau ci-dessous.

Cas traités quand
sous-cas date auteurs notes
2005 Bjorn Poonen, Edward Schaefer, Michael Stoll[12] 4 solutions non-Catalan

2003 Nils Bruin[13] Une solution non-Catalan,
2017 Nuno Freitas, Bartosz Naskręcki, Michael Stoll[14][15] Aucune solution non-Catalan
Partiellement résolu
2013 Samir Siksek, Michael Stoll[16] Aucune solution non-Catalan
2013 Michael Bennett, Imin Chen, Sander Dahmen, Soroosh Yazdani[17]
2003 Nils Bruin[18] Une solution non-Catalan,

2009 David Brown[19] Aucune solution
2008 Michael Bennett, Jordan Ellenberg, Nathan C. Ng[20] 2 solutions, et
2003 Jordan Ellenberg[21] Aucune solution
voir ci-dessous Nils Bruin
2003 Nils Bruin[13]
1997 Nils Bruin[22]
2011 Michael Bennett, Imin Chen[23] Aucune solution
voir ci-dessus
Une solution,
2011 Sander Dahmen[24] Aucune solution
2014 Michael Bennett, Imin Chen, Sander Dahmen, Soroosh Yazdani[7]
2007 Imin Chen[25] Aucune solution.

Il suffit que respecte une condition simple, vérifiée numériquement pour les petites valeurs

2010 Imin Chen[26] Aucune solution
2014 Michael Bennett, Imin Chen, Sander Dahmen, Soroosh Yazdani[7]
Aucune solution non-Catalan
Leonhard Euler Aucune solution
1998 Bjorn Poonen[27]
1995 Henri Darmon, Loïc Merel[5]

Résultats partiels quand p, q, r ≥ 3

ou est impossible en vertu de la conjecture de Catalan, démontrée par Preda Mihăilescu en 2002. est impossible pour des raisons similaires. Les résultats partiels suivants sont pertinents pour l'établissement de la conjecture de Beal. Si elle est vraie, il n'y a aucune solution non triviale quand . L'inexistence de solutions n'est donc pas rappelée à chaque ligne.

Cas traités quand
sous-cas date auteurs notes
1825 Dirichlet
1994 Andrew Wiles C'est le dernier théorème de Fermat
1873 Édouard Lucas[28] - [7][N 1]
1998 Bjorn Poonen[27]
1995 Henri Darmon, Loïc Merel[5]
2000 Nils Bruin[29]
Partiellement résolu
1998 Alain Kraus[30] Il suffit que respecte une condition simple, vérifiée numériquement pour les petites valeurs
2008 Imin Chen, Samir Siksek[31] Amélioration de la condition de Kraus et vérification numérique
2016 Nuno Freitas[32]
2014 Michael Bennett, Imin Chen, Sander Dahmen, Soroosh Yazdani[7]
d'autres conditions de modulo
2011 Samir Siksek, Michael Stoll[33]
voir sous-cas 2003 Luis Dieulefait[34]
voir sous-cas 1993 Henri Darmon[35]
voir sous-cas 1998 Bjorn Poonen[27]
2007 Nicolas Billerey[36] - [37]
2013 Sander Dahmen, Samir Siksek[38]
Preuve conditionnelle supposant l'hypothèse de Riemann généralisée
voir sous-cas 2014 Michael Bennett, Imin Chen, Sander Dahmen, Soroosh Yazdani[7]
2006 Michael Bennett[39]
2015 Samuele Anni, Samir Siksek[40]
2018 Nicolas Billerey, Imin Chen, Lassina Dembélé, Luis Dieulefait, Nuno Freitas[41]
1998 Alain Kraus[30] Kraus prouve que . En prenant, , on a le résultat

Recherche numérique

Peter Norvig, directeur de recherche chez Google, a annoncé avoir numériquement éliminé toutes les solutions éventuelles avec et ainsi que et [42].

Cas général

Le cas -smooth a été étudié par Lucas dans beaucoup de cas particuliers[28].

équation sous-cas date auteurs notes
1877 Édouard Lucas[43] Une infinité de solutions. Voir Cas sphérique.
2018 Angelos Koutsianas[44] Une solution,
2008 Sander Dahmen[45] Aucune solution
beaucoup de cas particuliers différents 1951 Ernst Selmer[46]
2016 Gustav Söderlund[47] Preuve élémentaire, aucune solution
Preuve élémentaire, une solution,
2008 Michael Bennett, Jordan Ellenberg, Nathan C. Ng[20] Aucune solution
2006 Luis Dieulefait, Jorge Jiménez Urroz[48]
2018 Angelos Koutsianas[44] Une solution,
2006 Andrzej Dąbrowski[49] Aucune solution
2002 Alain Kraus[50] Il n'existe qu'un nombre fini de donnant des solutions
2005 Luis Dieulefait[51] Aucune solution
2007 Nicolas Billerey[36] Aucune solution
quelques autres cas particuliers quand est -smooth
2011 Luis Dieulefait, Nuno Freitas[52][N 2]
2017 Nicolas Billerey, Imin Chen, Luis Dieulefait, Nuno Freitas[53] Une solution,
Aucune solution
2012 Nuno Freitas[54] Aucune solution
Aucune solution
2018 Nicolas Billerey, Imin Chen, Lassina Dembélé, Luis Dieulefait, Nuno Freitas[41] Aucune solution
2013 Nuno Freitas, Samir Siksek[55] Aucune solution
2000 Wilfrid Ivorra[56] 2 solutions, ,

Une solution,
2002 Michael Bennett, Chris M. Skinner[57] Aucune solution
3 solutions, ,

,

Aucune solution
2009 Andrzej Dąbrowski[37]
2000 Michael Bennett, Vinayak Vatsal, Soroosh Yazdani[58] Aucune solution
1996 Alain Kraus[59] Aucune solution
Pierre Dénes Une solution,
1995 Kenneth Ribet[60]
Partiellement résolu
2002 Emmanuel Halberstadt, Alain Kraus[61] Il existe un ensemble de nombres premiers de densité strictement positive tel qu'il n'y a aucune solution pour tout .

Généralisations

La conjecture de Beal est fausse si on l'étend aux entiers de Gauss. Après qu'un prix de 50 $ ait été mis en jeu pour une preuve ou un contre-exemple, Fred W. Helenius proposa [62].

Le dernier théorème de Fermat tient toujours dans certains anneaux. On dit que le dernier théorème de Fermat asymptotique est vrai dans le corps (ou dans son anneau des entiers , c'est équivalent) si

Il existe une constante telle que, pour tout premier (dans ), l'équation n'a pas de solution avec .

Ci-dessous, deux solutions sont dites équivalentes s'il existe tel que :

équation corps sous-cas date auteurs résultats/notes
2013 Nuno Freitas, Samir Siksek[63] FLT asymptotique établi pour un ensemble de de densité parmi les entiers quadratfrei.

(améliorable à une densité de en supposant une généralisation de la conjecture d'Eichler-Shimura)

2016 Mehmet Şengün, Samir Siksek[64] FLT asymptotique établi en supposant une variante de la conjecture de modularité de Serre

(voir Programme de Langlands)

Paulo Ribenboim S'il existe une solution non triviale, il en existe une infinité (non équivalentes entre elles)
Alexander Aigner Toute solution est équivalente à une solution de la forme
Alexander Aigner, Fueter Il y a des solutions non triviales dans si et seulement si il y en a dans
2003 Frazer Jarvis, Paul Meekin[65] Aucune solution
Il existe une infinité de solutions générées par la solution
Aucune solution
Pour tout entier non divisible par , (cela correspond à est racine primitive troisième de l'unité)[66]
1978 Benedict Gross, David Rohrlich[67] Aucune solution
2004 Pavlos Tzermias[68]
1982 Fred Hao, Charles Parry[69]
2017 George Ţurcaş[66] Aucune solution en supposant une variante de la conjecture de modularité de Serre

(voir Programme de Langlands)

2015 Nuno Freitas, Samir Siksek[70] Aucune solution
1934 Alexander Aigner[71] - [72] Aucune solution sauf si :
2015 Heline Deconinck[73] existe en supposant que respecte la conjecture d'Eichler-Shimura

Notons aussi les généralisations à des exposants algébriques fournies par John Zuehlke par des preuves très simples n'utilisant que le théorème de Gelfond-Schneider[74] - [75] :

Si et sont tels que , alors et ;

et le corollaire

L'équation n'a pas de solutions avec et .

Notes et références

Notes

  1. Le papier de Lucas ne traite pas explicitement ce cas, mais la section 5.2 de la 2ème source montre que celui-ci s'y ramène.
  2. Le texte sur arXiv n'est pas à jour. Les conditions sur n sont moins contraignantes dans le papier publié.

Références

  1. (en) Henri Darmon, « Faltings plus epsilon, Wiles plus epsilon, and the generalized Fermat equation », C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada, , p. 3–14 (lire en ligne, consulté le )
  2. (en) « Beal Conjecture », sur American Mathematical Society (consulté le )
  3. (en) Michael Bennett, Preda Mihăilescu et Samir Siksek, « The Generalized Fermat Equation », dans Open Problems in Mathematics, Springer International Publishing, , 173–205 p. (ISBN 978-3-319-32160-8, DOI 10.1007/978-3-319-32162-2_3, lire en ligne)
  4. (en) Frits Beukers, « The Diophantine equation Ax^p + By^q = Cz^r », Duke Mathematical Journal, vol. 91, no 1, , p. 61–88 (ISSN 0012-7094, DOI 10.1215/S0012-7094-98-09105-0, lire en ligne, consulté le )
  5. (en) Henri Darmon, « Winding quotients and some variants of Fermat’s Last Theorem », J. Reine Angew. Math., , p. 81-100 (ISSN 0075-4102, lire en ligne)
  6. (en) Johnny Edwards, « A complete solution to x^2 + y^3 + z^5 = 0 », Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 2004, no 571, (ISSN 0075-4102 et 1435-5345, DOI 10.1515/crll.2004.043, lire en ligne, consulté le )
  7. (en) Michael A. Bennett, Imin Chen, Sander R. Dahmen et Soroosh Yazdani, « Generalized Fermat equations : A miscellany », International Journal of Number Theory, vol. 11, no 01, , p. 1–28 (ISSN 1793-0421 et 1793-7310, DOI 10.1142/S179304211530001X, lire en ligne, consulté le )
  8. (de) G. Bergmann, « Über Eulers Beweis des großen Fermatschen Satzes für den Exponenten 3 », Mathematische Annalen, vol. 164, no 2, , p. 159–175 (ISSN 1432-1807, DOI 10.1007/BF01429054, lire en ligne, consulté le )
  9. (en) Henri Darmon et Andrew Granville, « On the equations z^m = F(x, y) and Ax^p + By^q = Cz^r », Bulletin of the London Mathematical Society, , p. 513-544 (ISSN 0024-6093, lire en ligne)
  10. Alain Kraus, « Majorations effectives pour l’équation de Fermat généralisée », Canadian Journal of Mathematics, vol. 49, no 6, , p. 1139–1161 (ISSN 0008-414X et 1496-4279, DOI 10.4153/CJM-1997-056-2, lire en ligne, consulté le )
  11. (en) Dong Quan Ngoc Nguyen, « Generalized Mordell curves, generalized Fermat curves, and the Hasse principle », (arXiv 1212.3400, consulté le )
  12. (en) Bjorn Poonen, Edward F. Schaefer et Michael Stoll, « Twists of X(7) », Duke Mathematical Journal, vol. 137, no 1, , p. 103–158 (ISSN 0012-7094, DOI 10.1215/S0012-7094-07-13714-1, arXiv math/0508174, lire en ligne, consulté le )
  13. (en) Nils Bruin, « The primitive solutions to x^3 + y^9 = z^2 », Journal of Number Theory, vol. 111, no 1, , p. 179–189 (DOI 10.1016/j.jnt.2004.11.008, lire en ligne, consulté le )
  14. (en) Nuno Freitas, Bartosz Naskręcki et Michael Stoll, « The generalized Fermat equation with exponents 2, 3, n », Compositio Mathematica, vol. 156, no 1, , p. 77–113 (ISSN 0010-437X et 1570-5846, DOI 10.1112/S0010437X19007693, arXiv 1703.05058, lire en ligne, consulté le )
  15. Le théorème pour n = 11 suppose l'hypothèse de Riemann généralisée, mais celle-ci n'est utilisée que pour vérifier les calculs.
  16. (en) Samir Siksek et Michael Stoll, « The generalised Fermat equation x^2 + y^3 = z^15 », Archiv der Mathematik, vol. 102, no 5, , p. 411–421 (ISSN 0003-889X et 1420-8938, DOI 10.1007/s00013-014-0639-z, lire en ligne, consulté le )
  17. (en) Michael A. Bennett, Imin Chen, Sander R. Dahmen et Soroosh Yazdani, « On the equation a^3 + b^3n = c^2 », Acta Arithmetica, vol. 163, no 4, , p. 327–343 (ISSN 0065-1036 et 1730-6264, DOI 10.4064/aa163-4-3, lire en ligne, consulté le )
  18. (en) Nils Bruin, « Chabauty methods using elliptic curves », Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 2003, no 562, , p. 27-49 (ISSN 0075-4102 et 1435-5345, DOI 10.1515/crll.2003.076, lire en ligne, consulté le )
  19. (en) David Brown, « Primitive Integral Solutions to x^2 + y^3 = z^{10} », International Mathematics Research Notices, vol. 2012, no 2, , p. 423–436 (ISSN 1687-0247, e-ISSN 1073-7928, DOI 10.1093/imrn/rnr022, arXiv 0911.2932, lire en ligne, consulté le )
  20. (en) Michael A. Bennett, Jordan S. Ellenberg et Nathan C. Ng, « The Diophantine equation A^4 + 2^δ B^2 = C^n », International Journal of Number Theory, vol. 06, no 02, , p. 311–338 (ISSN 1793-0421 et 1793-7310, DOI 10.1142/S1793042110002971, lire en ligne, consulté le )
  21. (en) Jordan S. Ellenberg, « Galois representations attached to Q-curves and the generalized Fermat equation A^4 + B^2 = C^p », American Journal of Mathematics, , p. 763–787 (ISSN 1080-6377, lire en ligne)
  22. (en) Nils Bruin, « The Diophantine Equations x^2 ± y^4 = ±z^6 and x^2 + y^8 = z^3 », Compositio Mathematica, vol. 118, no 3, , p. 305–321 (DOI 10.1023/A:1001529706709, lire en ligne, consulté le )
  23. (en) Michael A. Bennett et Imin Chen, « Multi-Frey ℚ-curves and the Diophantine equation a 2 + b 6 = c n », Algebra & Number Theory, vol. 6, no 4, , p. 707–730 (ISSN 1944-7833 et 1937-0652, DOI 10.2140/ant.2012.6.707, lire en ligne, consulté le )
  24. (en) Sander R. Dahmen, « A refined modular approach to the diophantine equation x^2 + y^{2n} = z^3 », International Journal of Number Theory, vol. 07, no 05, , p. 1303–1316 (ISSN 1793-0421 et 1793-7310, DOI 10.1142/S1793042111004472, lire en ligne, consulté le )
  25. (en) Imin Chen, « On the equation s^2 + y^{2p} = α^3 », Mathematics of Computation, vol. 77, no 262, , p. 1223–1228 (ISSN 0025-5718, DOI 10.1090/S0025-5718-07-02083-2, lire en ligne, consulté le )
  26. (en) Imin Chen, « On the equation a^2 + b^{2p} = c^5 », Acta Arithmetica, vol. 143, no 4, , p. 345–375 (ISSN 0065-1036 et 1730-6264, DOI 10.4064/aa143-4-3, lire en ligne, consulté le )
  27. (en) Bjorn Poonen, « Some diophantine equations of the form x^n + y^n = z^m », Acta Arithmetica, vol. 86, no 3, , p. 193–205 (ISSN 0065-1036 et 1730-6264, DOI 10.4064/aa-86-3-193-205, lire en ligne, consulté le )
  28. Édouard Lucas, « Recherches sur l'analyse indéterminée et l'arithmétique de Diophante », Bulletin de la Société d'émulation du département de l'Allier, (lire en ligne)
  29. (en) Nils Bruin, « On powers as sums of two cubes », Algorithmic Number Theory, vol. 1838, , p. 169–184 (ISBN 978-3-540-67695-9, DOI 10.1007/10722028_9, lire en ligne, consulté le )
  30. (en) Alain Kraus, « Sur l'équation a^3 + b^3 = c^p », Experimental Mathematics, vol. 7, no 1, , p. 1–13 (ISSN 1058-6458, DOI 10.1080/10586458.1998.10504355, lire en ligne, consulté le )
  31. (en) Imin Chen et Samir Siksek, « Perfect powers expressible as sums of two cubes », Journal of Algebra, vol. 322, no 3, , p. 638–656 (DOI 10.1016/j.jalgebra.2009.03.010, lire en ligne, consulté le )
  32. (en) Nuno Freitas, « On the Fermat-type equation x^3 + y^3 = z^p », Commentarii Mathematici Helvetici, vol. 91, no 2, , p. 295–304 (ISSN 0010-2571, DOI 10.4171/CMH/386, arXiv 1601.06361, lire en ligne, consulté le )
  33. (en) Samir Siksek et Michael Stoll, « Partial descent on hyperelliptic curves and the generalized Fermat equation x^3 + y^4 + z^5 = 0 », Bulletin of the London Mathematical Society, vol. 44, no 1, , p. 151–166 (DOI 10.1112/blms/bdr086, arXiv 1103.1979, lire en ligne, consulté le )
  34. (en) Luis V. Dieulefait, « Modular congruences, Q-curves, and the diophantine equation x^4 + y^4 = z^p », Bulletin of the Belgian Mathematical Society - Simon Stevin, vol. 12, no 3, , p. 363–369 (ISSN 1370-1444, DOI 10.36045/bbms/1126195341, arXiv math/0304425, lire en ligne, consulté le )
  35. (en) Henri Darmon, « The equation x^4 - y^4 = z^p », Bulletin of the London Mathematical Society, (lire en ligne)
  36. Nicolas Billerey, « Équations de Fermat de type (5, 5, p) », Bulletin of the Australian Mathematical Society, vol. 76, no 2, , p. 161–194 (ISSN 0004-9727 et 1755-1633, DOI 10.1017/S0004972700039575, lire en ligne, consulté le )
  37. (en) Andrzej Dąbrowski, « On a class of generalized Fermat equations », Bulletin of the Australian Mathematical Society, vol. 82, no 3, , p. 505–510 (ISSN 0004-9727 et 1755-1633, DOI 10.1017/S000497271000033X, lire en ligne, consulté le )
  38. (en) Sander R. Dahmen et Samir Siksek, « Perfect powers expressible as sums of two fifth or seventh powers », Acta Arithmetica, vol. 164, no 1, , p. 65–100 (ISSN 0065-1036 et 1730-6264, DOI 10.4064/aa164-1-5, arXiv 1309.4030, lire en ligne, consulté le )
  39. (en) Michael A. Bennett, « The equation x^{2n} + y^{2n} = z^5 », Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, (ISSN 2118-8572, DOI 10.5802/jtnb.546, lire en ligne)
  40. (en) Samuele Anni et Samir Siksek, « Modular elliptic curves over real abelian fields and the generalized Fermat equation x^{2ℓ} + y^{2m} = z^p », Algebra & Number Theory, vol. 10, no 6, , p. 1147–1172 (ISSN 1944-7833 et 1937-0652, DOI 10.2140/ant.2016.10.1147, arXiv 1506.02860, lire en ligne, consulté le )
  41. (en) Nicolas Billerey, Imin Chen, Lassina Dembele, Luis Dieulefait et Nuno Freitas, « Some extensions of the modular method and Fermat equations of signature (13, 13, n) », arXiv, (arXiv 1802.04330, lire en ligne, consulté le )
  42. (en) Peter Norvig, « Beal's Conjecture Revisited », (consulté le )
  43. Édouard Lucas, « Sur la résolution du système des équations 2v^2 - u^2 = w^2 et 2v^2 + u^2 = 3z^2 en nombres entiers », Nouvelles annales de mathématiques 2e série, vol. 16, , p. 409-416
  44. (en) Angelos Koutsianas, « On the generalized Fermat equation $a^2+3b^6=c^n$ », arXiv, (arXiv 1805.07127, lire en ligne, consulté le )
  45. (en) Sander R. Dahmen, Classical and modular methods applied to Diophantine equations, (lire en ligne)
  46. (en) Ernst S. Selmer, « The diophantine equation ax^3 + by^3 + cz^3 = 0 », Acta Mathematica, vol. 85, no 0, , p. 203–362 (ISSN 0001-5962, DOI 10.1007/BF02395746, lire en ligne, consulté le )
  47. (en) Gustav Söderlund, « The primitive solutions to the Diophantine equation 2X^4 + Y^4 = Z^3 », Notes on Number Theory and Discrete Mathematics, vol. 23, no 2, , p. 36-44 (ISSN 1310-5132, e-ISSN 2367-8275, lire en ligne)
  48. (en) Luis Dieulefait et Jorge Jiménez Urroz, « Solving Fermat-type equations via modular ℚ-curves over polyquadratic fields », Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal), vol. 2009, no 633, , p. 183-195 (ISSN 0075-4102 et 1435-5345, DOI 10.1515/CRELLE.2009.064, arXiv math/0611663, lire en ligne, consulté le )
  49. (en) Andrzej Dąbrowski, « On the integers represented by x^4 - y^4 », Bulletin of the Australian Mathematical Society, vol. 76, no 1, , p. 133–136 (ISSN 0004-9727 et 1755-1633, DOI 10.1017/S0004972700039514, lire en ligne, consulté le )
  50. (en) Alain Kraus, « A question on the equations x^m - y^m = Rz^n », Compositio Mathematica, vol. 132, no 1, , p. 1–26 (DOI 10.1023/A:1016028914506, lire en ligne, consulté le )
  51. (en) Luis V. Dieulefait, « Solving diophantine equations x^4 + y^4 = q z^p », Acta Arithmetica, vol. 117, no 3, , p. 207–211 (ISSN 0065-1036 et 1730-6264, DOI 10.4064/aa117-3-1, arXiv math/0304430v1, lire en ligne, consulté le )
  52. (en) Luis Dieulefait et Nuno Freitas, « The Fermat-type equations x^5 + y^5 = 2z^p or 3z^p solved through Q-curves », Mathematics of Computation, vol. 83, no 286, , p. 917–933 (ISSN 0025-5718 et 1088-6842, DOI 10.1090/S0025-5718-2013-02731-7, arXiv 1103.5388, lire en ligne, consulté le )
  53. (en) Nicolas Billerey, Imin Chen, Luis Dieulefait et Nuno Freitas, « A multi-Frey approach to Fermat equations of signature (r, r, p) », Transactions of the American Mathematical Society, vol. 371, no 12, , p. 8651–8677 (ISSN 0002-9947 et 1088-6850, DOI 10.1090/tran/7477, arXiv 1703.06530, lire en ligne, consulté le )
  54. (en) Nuno Freitas, « Recipes to Fermat-type equations of the form x^r + y^r = Cz^p », Mathematische Zeitschrift, vol. 279, nos 3-4, , p. 605–639 (ISSN 0025-5874 et 1432-1823, DOI 10.1007/s00209-014-1384-5, arXiv 1203.3371, lire en ligne, consulté le )
  55. (en) Nuno Freitas et Samir Siksek, « Criteria for Irreducibility of mod p Representations of Frey Curves », Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, vol. 27, no 1, , p. 67–76 (ISSN 1246-7405 et 2118-8572, DOI 10.5802/jtnb.894, arXiv 1309.4748, lire en ligne, consulté le )
  56. Wilfrid Ivorra, « Sur les équations x^p + 2^β y^p = z^2 et x^p + 2^β y^p = 2z^2 », Acta Arithmetica, vol. 108, no 4, , p. 327–338 (ISSN 0065-1036 et 1730-6264, DOI 10.4064/aa108-4-3, lire en ligne, consulté le )
  57. (en) Michael A. Bennett et Chris M. Skinner, « Ternary Diophantine Equations via Galois Representations and Modular Forms », Canadian Journal of Mathematics, vol. 56, no 1, , p. 23–54 (ISSN 0008-414X, e-ISSN 1496-4279, DOI 10.4153/CJM-2004-002-2, lire en ligne, consulté le )
  58. (en) Michael A. Bennett, Vinayak Vatsal et Soroosh Yazdani, « Ternary Diophantine equations of signature (p, p, 3) », Compositio Mathematica, vol. 140, no 06, , p. 1399–1416 (ISSN 0010-437X, e-ISSN 1570-5846, DOI 10.1112/S0010437X04000983, lire en ligne, consulté le )
  59. Alain Kraus, « Sur les équations a^p + b^p + 15c^p = 0 et a^p + 3b^p + 5c^p = 0 », Comptes Rendus de l'Académie des Sciences - Séries I - Mathématiques, vol. 322, , p. 809–812
  60. (en) Kenneth A. Ribet, « On the equation a^p + 2^αb^p + c^p = 0 », Acta Arithmetica, vol. 79, no 1, , p. 7-16 (ISSN 0065-1036, arXiv math/9508208, lire en ligne)
  61. Emmanuel Halberstadt et Alain Kraus, « Courbes de Fermat : résultats et problèmes », Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal), vol. 2002, no 548, (ISSN 0075-4102 et 1435-5345, DOI 10.1515/crll.2002.058, lire en ligne, consulté le )
  62. (en) « Neglected Gaussians », sur www.mathpuzzle.com (consulté le )
  63. (en) Nuno Freitas et Samir Siksek, « The asymptotic Fermat’s Last Theorem for five-sixths of real quadratic fields », Compositio Mathematica, vol. 151, no 8, , p. 1395–1415 (ISSN 0010-437X, e-ISSN 1570-5846, DOI 10.1112/S0010437X14007957, arXiv 1307.3162, lire en ligne, consulté le )
  64. (en) Mehmet Haluk Şengün et Samir Siksek, « On the asymptotic Fermat’s last theorem over number fields », Commentarii Mathematici Helvetici, vol. 93, no 2, , p. 359–375 (ISSN 0010-2571, DOI 10.4171/CMH/437, arXiv 1609.04458, lire en ligne, consulté le )
  65. (en) Frazer Jarvis et Paul Meekin, « The Fermat equation over Q(sqrt 2)) », Journal of Number Theory, vol. 109, no 1, , p. 182–196 (ISSN 0022-314X, DOI 10.1016/j.jnt.2004.06.006, lire en ligne, consulté le )
  66. (en) George C. Ţurcaş, « On Fermat’s equation over some quadratic imaginary number fields », Research in Number Theory, vol. 4, no 2, , p. 24 (ISSN 2522-0160 et 2363-9555, PMID 30957002, PMCID PMC6428335, DOI 10.1007/s40993-018-0117-y, arXiv 1710.10163, lire en ligne, consulté le )
  67. (en) Benedict H. Gross et David E. Rohrlich, « Some results on the Mordell-Weil group of the Jacobian of the Fermat curve », Inventiones Mathematicae, vol. 44, no 3, , p. 201–224 (ISSN 0020-9910 et 1432-1297, DOI 10.1007/BF01403161, lire en ligne, consulté le )
  68. (en) Pavlos Tzermias, « Low-degree points on Hurwitz-Klein curves », Transactions of the American Mathematical Society, vol. 356, no 03, , p. 939–952 (ISSN 0002-9947, e-ISSN 1088-6850, DOI 10.1090/S0002-9947-03-03454-8, lire en ligne, consulté le )
  69. (en) Fred H. Hao et Charles J. Parry, « The fermat equation over quadratic fields », Journal of Number Theory, vol. 19, no 1, , p. 115–130 (ISSN 0022-314X, DOI 10.1016/0022-314X(84)90096-9, lire en ligne, consulté le )
  70. (en) Nuno Freitas et Samir Siksek, « Fermat’s last theorem over some small real quadratic fields », Algebra & Number Theory, vol. 9, no 4, , p. 875–895 (ISSN 1944-7833 et 1937-0652, DOI 10.2140/ant.2015.9.875, lire en ligne, consulté le )
  71. (de) Alexander Aigner, « Über die Möglichkeit von x^4 + y^4 = z^4 in quadratischen Körpern », Jahresbericht der deutschen Mathematiker Vereinigung, vol. 43, , p. 226-229
  72. (de) Alexander Aigner, « Die Unmöglichkeit von x^6 + y^6 = z^6 und x^9 + y^9 = z^9 in quadratischen Körpern », Monatshefte für Mathematik, vol. 61, no 2, , p. 147-150 (ISSN 0026-9255 et 1436-5081, DOI 10.1007/bf01641485, lire en ligne, consulté le )
  73. (en) Heline Deconinck, « On the generalized Fermat equation over totally real fields », arXiv, (arXiv 1505.06117, lire en ligne, consulté le )
  74. (en) John A. Zuehlke, « Fermat's Last Theorem for Gaussian Integer Exponents », The American Mathematical Monthly, vol. 106, no 1, , p. 49–49 (ISSN 0002-9890 et 1930-0972, DOI 10.1080/00029890.1999.12005006, lire en ligne, consulté le )
  75. (en) John A. Zuehlke, « The Darmon–Granville Equation with Algebraic Exponents », Journal of Number Theory, vol. 96, no 2, , p. 225–231 (DOI 10.1006/jnth.2002.2809, lire en ligne, consulté le )

Voir aussi

Articles connexes

Cet article est issu de wikipedia. Text licence: CC BY-SA 4.0, Des conditions supplémentaires peuvent s’appliquer aux fichiers multimédias.