Conjecture de modularité de Serre

La conjecture concerne le groupe de Galois absolu ${\displaystyle G_{\mathbb {Q} }}$ du corps des nombres rationnels ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ .

Soit ${\displaystyle \rho }$ une représentation absolument irréductible (i.e. irréductible sur le corps des complexes), continue et bidimensionnelle de ${\displaystyle G_{\mathbb {Q} }}$ sur un corps fini ${\displaystyle F=\mathbb {F} _{\ell ^{r}}}$.

${\displaystyle \rho \colon G_{\mathbb {Q} }\rightarrow \mathrm {GL} _{2}(F).}$

De plus, on suppose ${\displaystyle \rho }$ est impaire, ce qui signifie que l'image de la conjugaison complexe a un déterminant -1.

À toute forme propre modulaire normalisée

${\displaystyle f=q+a_{2}q^{2}+a_{3}q^{3}+\cdots }$

de niveau ${\displaystyle N=N(\rho )}$, poids ${\displaystyle k=k(\rho )}$, et caractères de Dirichlet

${\displaystyle \chi \colon \mathbb {Z} /N\mathbb {Z} \rightarrow F^{*}}$ ,

un théorème dû à Shimura, Deligne et Serre-Deligne associe à ${\displaystyle f}$ une représentation

${\displaystyle \rho _{f}\colon G_{\mathbb {Q} }\rightarrow \mathrm {GL} _{2}({\mathcal {O}}),}$

où ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ est l'anneau des entiers dans une extension finie de ${\displaystyle \mathbb {Q} _{\ell }}$. Cette représentation est caractérisée par la condition que pour tout nombre premier ${\displaystyle p}$, premier avec ${\displaystyle N\ell }$ on a

${\displaystyle \operatorname {Trace} (\rho _{f}(\operatorname {Frob} _{p}))=a_{p}}$

et

${\displaystyle \det(\rho _{f}(\operatorname {Frob} _{p}))=p^{k-1}\chi (p).}$

En réduisant cette représentation modulo l'idéal maximal de ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ donne une représentation ${\displaystyle {\overline {\rho _{f}}}}$ modulo ${\displaystyle \ell }$ de ${\displaystyle G_{\mathbb {Q} }}$.

La conjecture de Serre affirme que pour toute représentation ${\displaystyle \rho }$ comme ci-dessus, il existe une forme modulaire propre ${\displaystyle f}$ tel que

${\displaystyle {\overline {\rho _{f}}}\cong \rho }$ .

Le niveau et le poids de la forme conjecturale ${\displaystyle f}$ sont explicitement conjecturés dans l'article de Serre. De plus, il tire un certain nombre de résultats de cette conjecture, parmi lesquels le dernier théorème de Fermat et la conjecture (désormais prouvée) de Shimura-Taniyama-Weil, maintenant connue sous le nom de théorème de modularité (bien que celui-ci implique le dernier théorème de Fermat, Serre le prouve directement à partir de sa conjecture).

La forme forte de la conjecture de Serre décrit le niveau et le poids de la forme modulaire.

Le niveau optimal est le conducteur d'Artin de la représentation, avec la puissance de ${\displaystyle l}$ supprimé.

Une preuve des cas de niveau 1 et de petit poids de la conjecture a été obtenue en 2004 par Chandrashekhar Khare et Jean-Pierre Wintenberger, et par Luis Dieulefait, indépendamment[3] - [4].

En 2005, Chandrashekhar Khare a obtenu une preuve du cas de niveau 1 de la conjecture de Serre, et en 2008 une preuve de la conjecture complète en collaboration avec Jean-Pierre Wintenberger.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Serre's modularity conjecture » (voir la liste des auteurs).

•  Jean-Pierre Serre, Valeurs propres des opérateurs de Hecke modulo l, vol. 24–25, 1975, 109–117 p. (ISSN 0303-1179, MR 0382173)
•  Jean-Pierre Serre, Sur les représentations modulaires de degré 2 de Gal(Q/Q), vol. 54, 1987, 179–230 p. (ISSN 0012-7094, DOI 10.1215/S0012-7094-87-05413-5, MR 885783)
•  William A. Stein et Kenneth A. Ribet, Arithmetic algebraic geometry (Park City, UT, 1999), vol. 9, Providence, R.I., American Mathematical Society, coll. « IAS/Park City Math. Ser. », 2001, 143–232 p. (ISBN 978-0-8218-2173-2, MR 1860042), « Lectures on Serre's conjectures »

• Serre's Modularity Conjecture Conférence de 50 minutes par Ken Ribet donnée le 25 octobre 2007 ( slides PDF, autre version de slides PDF)
• Conférences sur les conjectures de Serre