Nombre taxicab

Godfrey Harold Hardy, mathématicien britannique de la première moitié du XX^e siècle, rapporte l'anecdote suivante, concernant le mathématicien indien Srinivasa Ramanujan[2] :

« Je me souviens que j'allais le voir une fois, alors qu'il était malade, à Putney. J'avais pris un taxi portant le numéro 1729 et je remarquai que ce nombre me semblait peu intéressant, ajoutant que j'espérais que ce ne fût pas mauvais signe.
— Non, me répondit-il, c'est un nombre très intéressant : c'est le plus petit nombre décomposable en somme de deux cubes de deux manières différentes. »

En effet, ${\displaystyle 9^{3}+10^{3}=1^{3}+12^{3}=1729}$. Et Hardy conclut (après avoir tout de même remarqué que Ramanujan ignorait la réponse à la même question pour les puissances quatrièmes) qu'il « donnait l'impression que chaque entier naturel était un de ses amis personnels »[3].

Pour cette raison, on définit parfois un nombre taxicab comme un entier naturel qui peut s'exprimer comme la somme de deux cubes de deux façons différentes. D'autres nombres ayant cette propriété avaient été trouvés par le mathématicien français Bernard Frénicle de Bessy (1602-1675) :

${\displaystyle {\begin{array}{rrrrr}4104&=&2^{3}&+&16^{3}&=&9^{3}&+&15^{3}\\20683&=&10^{3}&+&27^{3}&=&19^{3}&+&24^{3}\\39312&=&2^{3}&+&34^{3}&=&15^{3}&+&33^{3}\\40033&=&9^{3}&+&34^{3}&=&16^{3}&+&33^{3}\end{array}}}$

Le plus petit nombre décomposable de deux manières différentes en somme de deux puissances quatrièmes est 635 318 657, et c'est Euler (1707-1783) qui l'a trouvé : ${\displaystyle 158^{4}+59^{4}=133^{4}+134^{4}=635318657.}$
Il existe une variante du nombre taxicab : un nombre cabtaxi est défini comme le plus petit entier naturel non nul pouvant s'écrire de n façons différentes (à l'ordre des termes près) comme somme de deux cubes positifs, nuls ou négatifs.

Ta(2) fut publié en premier par Bernard Frénicle de Bessy en 1657[4]. Les nombres taxicab postérieurs furent trouvés avec l'aide d'ordinateurs ; John Leech obtint Ta(3) en 1957[5] - [4], E. Rosenstiel, J. A. Dardis et C. R. Rosenstiel trouvèrent Ta(4) en 1991[6] - [4] et David W. Wilson trouva Ta(5) en 1999[7] - [4].

Ta(6)[8] - [9] fut confirmé par Uwe Hollerbach sur la NMBRTHRY mailing list en 2008[10].

Le premier nombre taxicab correspond au plus petit entier décomposable en une unique somme de deux cubes positifs non nuls, à l'ordre des opérandes près. Il s'agit de l'entier 2, représenté par l'équation diophantienne[11] - [4] :

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (1)=2&=1^{3}+1^{3}\end{aligned}}}$

Les cinq nombres taxicab suivants sont[4] :

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (2)=1729&=1^{3}+12^{3}\\&=9^{3}+10^{3}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (3)=87539319&=167^{3}+436^{3}\\&=228^{3}+423^{3}\\&=255^{3}+414^{3}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (4)=6963472309248&=2421^{3}+19083^{3}\\&=5436^{3}+18948^{3}\\&=10200^{3}+18072^{3}\\&=13322^{3}+16630^{3}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (5)=48988659276962496&=38787^{3}+365757^{3}\\&=107839^{3}+362753^{3}\\&=205292^{3}+342952^{3}\\&=221424^{3}+336588^{3}\\&=231518^{3}+331954^{3}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (6)=24153319581254312065344&=582162^{3}+28906206^{3}\\&=3064173^{3}+28894803^{3}\\&=8519281^{3}+28657487^{3}\\&=16218068^{3}+27093208^{3}\\&=17492496^{3}+26590452^{3}\\&=18289922^{3}+26224366^{3}\end{aligned}}}$

De tels nombres plus grands sont connus, mais on ne sait pas encore si ce sont les plus petits possibles à répondre aux exigences Taxicab. L'entier ${\displaystyle \operatorname {Ta} (n)}$ est le plus petit qui est somme de deux cubes de ${\displaystyle n}$ façons différentes. Si on trouve un entier ${\displaystyle m}$ qui est somme de deux cubes de ${\displaystyle n}$ façons différentes, on a donc ${\displaystyle \operatorname {Ta} (n)\leq m}$. Les bornes supérieures suivantes ont ainsi été découvertes en 2008[12] :

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Ta} (7)&\leq &24885189317885898975235988544\\&=&2648660966^{3}+1847282122^{3}\\&=&2685635652^{3}+1766742096^{3}\\&=&2736414008^{3}+1638024868^{3}\\&=&2894406187^{3}+860447381^{3}\\&=&2915734948^{3}+459531128^{3}\\&=&2918375103^{3}+309481473^{3}\\&=&2919526806^{3}+58798362^{3}\\\\\end{matrix}}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Ta} (8)&\leq &50974398750539071400590819921724352\\&=&299512063576^{3}+288873662876^{3}\\&=&336379942682^{3}+234604829494^{3}\\&=&341075727804^{3}+224376246192^{3}\\&=&347524579016^{3}+208029158236^{3}\\&=&367589585749^{3}+109276817387^{3}\\&=&370298338396^{3}+58360453256^{3}\\&=&370633638081^{3}+39304147071^{3}\\&=&370779904362^{3}+7467391974^{3}\\\\\end{matrix}}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Ta} (9)&\leq &136897813798023990395783317207361432493888\\&=&41632176837064^{3}+40153439139764^{3}\\&=&46756812032798^{3}+32610071299666^{3}\\&=&47409526164756^{3}+31188298220688^{3}\\&=&48305916483224^{3}+28916052994804^{3}\\&=&51094952419111^{3}+15189477616793^{3}\\&=&51471469037044^{3}+8112103002584^{3}\\&=&51518075693259^{3}+5463276442869^{3}\\&=&51530042142656^{3}+4076877805588^{3}\\&=&51538406706318^{3}+1037967484386^{3}\\\\\end{matrix}}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Ta} (10)&\leq &7335345315241855602572782233444632535674275447104\\&=&15695330667573128^{3}+15137846555691028^{3}\\&=&17627318136364846^{3}+12293996879974082^{3}\\&=&17873391364113012^{3}+11757988429199376^{3}\\&=&18211330514175448^{3}+10901351979041108^{3}\\&=&19262797062004847^{3}+5726433061530961^{3}\\&=&19404743826965588^{3}+3058262831974168^{3}\\&=&19422314536358643^{3}+2059655218961613^{3}\\&=&19426825887781312^{3}+1536982932706676^{3}\\&=&19429379778270560^{3}+904069333568884^{3}\\&=&19429979328281886^{3}+391313741613522^{3}\\\\\end{matrix}}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Ta} (11)&\leq &2818537360434849382734382145310807703728251895897826621632\\&=&11410505395325664056^{3}+11005214445987377356^{3}\\&=&12815060285137243042^{3}+8937735731741157614^{3}\\&=&12993955521710159724^{3}+8548057588027946352^{3}\\&=&13239637283805550696^{3}+7925282888762885516^{3}\\&=&13600192974314732786^{3}+6716379921779399326^{3}\\&=&14004053464077523769^{3}+4163116835733008647^{3}\\&=&14107248762203982476^{3}+2223357078845220136^{3}\\&=&14120022667932733461^{3}+1497369344185092651^{3}\\&=&14123302420417013824^{3}+1117386592077753452^{3}\\&=&14125159098802697120^{3}+657258405504578668^{3}\\&=&14125594971660931122^{3}+284485090153030494^{3}\\\\\end{matrix}}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Ta} (12)&\leq &73914858746493893996583617733225161086864012865017882136931801625152\\&=&33900611529512547910376^{3}+32696492119028498124676^{3}\\&=&38073544107142749077782^{3}+26554012859002979271194^{3}\\&=&38605041855000884540004^{3}+25396279094031028611792^{3}\\&=&39334962370186291117816^{3}+23546015462514532868036^{3}\\&=&40406173326689071107206^{3}+19954364747606595397546^{3}\\&=&41606042841774323117699^{3}+12368620118962768690237^{3}\\&=&41912636072508031936196^{3}+6605593881249149024056^{3}\\&=&41950587346428151112631^{3}+4448684321573910266121^{3}\\&=&41960331491058948071104^{3}+3319755565063005505892^{3}\\&=&41965847682542813143520^{3}+1952714722754103222628^{3}\\&=&41965889731136229476526^{3}+1933097542618122241026^{3}\\&=&41967142660804626363462^{3}+845205202844653597674^{3}\end{matrix}}}$

Des bornes supérieures de ${\displaystyle \operatorname {Ta} (n)}$ont également été trouvées pour tous les entiers ${\displaystyle n}$ compris entre 13 et 22[13]. On a ainsi :

${\displaystyle \operatorname {Ta} (13)\leq 10^{65}}$

${\displaystyle \operatorname {Ta} (14)\leq 10^{73}}$

${\displaystyle \operatorname {Ta} (15)\leq 10^{81}}$

${\displaystyle \operatorname {Ta} (16)\leq 10^{91}}$

${\displaystyle \operatorname {Ta} (17)\leq 10^{102}}$

${\displaystyle \operatorname {Ta} (18)\leq 10^{113}}$

${\displaystyle \operatorname {Ta} (19)\leq 10^{123}}$

${\displaystyle \operatorname {Ta} (20)\leq 10^{133}}$

${\displaystyle \operatorname {Ta} (21)\leq 10^{147}}$

${\displaystyle \operatorname {Ta} (22)\leq 10^{160}}$