Théorème d'Hurewicz

Le groupe fondamental, en un point x, d'un espace X, est défini comme l'ensemble des classes d'homotopie de lacets de X en x, muni de la loi de concaténation des lacets. Il est noté π₁(X, x). Si X est connexe par arcs et si y est un autre point de X, les groupes π₁(X, x) et π₁(X, y) sont isomorphes : des isomorphismes peuvent être construits en utilisant un chemin de x à y. Cependant, de tels isomorphismes sont uniquement définis à conjugaison près.

Si G est un groupe, on note [G, G] le sous-groupe distingué de G engendré par les commutateurs de G, appelé groupe dérivé. Le groupe G^ab := G/[G, G] s'appelle l'abélianisé de G. Plus grand quotient abélien de G, il est caractérisé par la propriété universelle suivante :

Un automorphisme intérieur de G préserve les commutateurs, et induit par passage au quotient l'identité sur l'abélianisé G^ab.

Pour tout entier naturel q, on note H_q(X, ℤ) le q-ième groupe d'homologie singulière de X à coefficients entiers. En notant (X_k) la famille des composantes connexes par arcs de X, H_q(X, ℤ) est la somme directe des H_q(X_k, ℤ), ce qui permet de ramener l'étude de H₁(X, ℤ) au cas où X est connexe par arcs. Le théorème d'Hurewicz affirme dans ce cas l'existence d'un isomorphisme naturel de π₁(X, x)^ab sur H₁(X, ℤ) :

Théorème — Soit X un espace topologique connexe par arcs. Un lacet f : [0,1] → X est, en tant que 1-chaîne, un cycle. Le morphisme de groupes Φ_X : π₁(X, x) → H₁(X, ℤ) induit un isomorphisme appelé isomorphisme d'Hurewicz :

${\displaystyle \Phi _{X}:\pi _{1}(X,x)^{ab}{\overset {\sim }{\rightarrow }}H_{1}(X,\mathbb {Z} )}$.

De plus, pour toute application continue g : X → Y, les morphismes de groupes induits g_✻ : π₁(X, x) → π₁(Y, g(x)) et g_✻ : H₁(X, ℤ) → H₁(Y, ℤ) vérifient :

${\displaystyle g_{*}\circ \Phi _{X}=\Phi _{Y}\circ g_{*}}$.

Autrement dit, H₁(X, ℤ) est naturellement l'abélianisé de π₁(X, x). Plus exactement, on dispose de deux foncteurs covariants de la catégorie des espaces topologiques connexes par arcs dans la catégorie des groupes abéliens, à savoir :

• Le foncteur H₁ qui à un « objet » X associe H₁(X, ℤ) ;
• La foncteur π₁^ab qui à un « objet » X associe π₁(X, x)^ab où le point de base x est choisi arbitraire.

Le théorème d'Hurewicz donne l'existence d'un isomorphisme de foncteurs Φ de π₁^ab sur H₁.

Le théorème d'Hurewicz permet de calculer le premier groupe d'homologie connaissant le groupe fondamental :

Pour tout espace X connexe par arcs, H₁(X, ℤ) est trivial si et seulement si π₁(X) est parfait. C'est bien sûr le cas si X est simplement connexe mais aussi, par exemple, si X est une sphère d'homologie de dimension > 1.

Le théorème d'Hurewicz énonce l'existence d'un morphisme de groupes et sa bijectivité. L'injectivité demande plus de travail que sa surjectivité. La bijectivité sera ici établie en donnant la construction explicite d'un inverse. On note Δ₀ le point, Δ₁ = [0, 1] le 1-simplexe standard, et Δ₂ le 2-simplexe standard où les points sont repérés en coordonnées barycentriques par (s, t, u) avec s + t + u = 1.

Un lacet f de X en un point x est une application continue f : [0,1] → X telle que f(0) = f(1) = x. Une telle application peut être vue comme un 1-simplexe de X ; par définition, son bord est f(1) – f(0) = 0. Donc f est un 1-cycle. Une homotopie entre deux lacets f et g donne un 2-simplexe dont le bord est g – f. De ce fait, le 1-cycle f ne dépend, modulo les 1-bords, que de la classe d'homotopie du lacet f. On dispose donc d'une application naturelle :

${\displaystyle \Phi _{X}:\pi _{1}(X,x)\to H_{1}(X,\mathbb {Z} ).}$

Cette application est un morphisme de groupes : pour deux lacets f et g de X en x, f∗g est un 1-cycle. L'élément (f∗g) – g – f de C₁(X, ℤ) est le bord du 2-simplexe h défini par :

${\displaystyle h(s,t,u)={\begin{cases}f(1+t-s)&{\hbox{ si }}t\leq s,\\g(t-s)&{\hbox{ si }}t>s.\end{cases}}}$

Comme H₁(X, ℤ) est abélien, ce morphisme se factorise à travers l'abélianisé pour donner le morphisme d'Hurewicz :

${\displaystyle \Phi _{X}:\pi _{1}(X,x)^{ab}\rightarrow H_{1}(X,\mathbb {Z} )}$

Comme X est connexe par arcs, pour y un point de X, introduisons un chemin λ_y d'origine x et d'extrémité y (l'axiome du choix est ici utilisé). Pour tout 1-simplexe f de X, on définit :

${\displaystyle \psi _{\lambda }(f)=\lambda _{f(0)}*f*\lambda _{f(1)}^{-1}\in \pi _{1}(X,x).}$

Le lacet ψ_λ(f) dépend du choix des chemins λ_y ; il en va de même de sa classe dans l'abélianisé du groupe fondamental. L'application ψ_λ induit une application ℤ-linéaire :

${\displaystyle \Psi _{\lambda }:C_{1}(X,\mathbb {Z} )\to \pi _{1}(X,x)^{ab}.}$

Des arguments techniques (détaillés ci-dessous) montrent les résultats remarquables suivants :

• Le noyau de Ψ_λ contient les 1-bords (bords de 2-simplexes).
• Malgré la dépendance déjà soulignée en les choix des chemins utilisés, l'application Ψ_λ en restriction aux 1-cycles en est indépendante.

De ce fait, Ψ_λ induit par restriction et passage au quotient un morphisme Ψ indépendant de λ :

${\displaystyle \Psi :H_{1}(X,\mathbb {Z} )\to \pi (X,x)^{ab}.}$

Ce morphisme Ψ a été construit pour être l'inverse du morphisme d'Hurewicz Φ = Φ_X :

• Pour un élément α de π₁(X, x)^ab, représenté par un lacet f de X en x, l'image Φ_X(f) est représentée par f, vu comme un 1-cycle. Par définition, ΨΦ(α) est la classe de λ_x∗f∗λ_x⁻¹, conjugué de f. Donc dans l'abélianisé, leurs classes sont égales : ΨΦ(α) = α.
• Pour tout 1-simplexe f, λ_f(0)∗f∗λ_f(1)⁻¹ est égal à f modulo un 1-bord (voir l'argument ci-dessous). Par suite, si σ est un 1-cycle, Φ∘Ψ_λ(σ) est égal à σ modulo une somme de 1-bords. Autrement dit, Φ∘Ψ vaut l'identité sur H₁(X, ℤ).

Annulation des 1-bords

Soit h : Δ₂ → X un 2-simplexe. Son bord ∂h est la somme alternée f₀ – f₁ + f₂ de ses trois faces, définies par :

${\displaystyle f_{0}(s)=h(0,s,1-s),\quad f_{1}(s)=h(s,0,1-s)\quad {\text{et}}\quad f_{2}(s)=h(s,1-s,0).}$

Or, un calcul donne :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{\lambda }(\partial h)&=\left[\lambda _{f_{0}(0)}*f_{0}*\lambda _{f_{0}(1)}^{-1}\right]-\left[\lambda _{f_{1}(0)}*f_{1}*\lambda _{f_{1}(1)}^{-1}\right]+\left[\lambda _{f_{2}(0)}*f_{2}*\lambda _{f_{2}(1)}^{-1}\right]\\&=\left[\lambda _{f_{0}(0)}*f_{0}*\lambda _{f_{0}(1)}^{-1}\right]+\left[\lambda _{f_{2}(0)}*f_{2}*\lambda _{f_{2}(1)}^{-1}\right]+\left[\lambda _{f_{1}(1)}*f_{1}^{-1}*\lambda _{f_{1}(0)}^{-1}\right]\\&=\left[\lambda _{f_{0}(0)}*f_{0}*f_{2}*f_{1}^{-1}*\lambda _{f_{0}(1)}^{-1}\right],\end{aligned}}}$

où l'on a utilisé

${\displaystyle f_{0}(1)=f_{2}(0),\quad f_{2}(1)=f_{1}(1)\quad {\text{et}}\quad f_{1}(0)=f_{0}(1).}$

Comme f₀∗f₂∗f₁⁻¹ borde h, ce lacet est contractile, et représente donc l'élément unité de π₁(X, f₀(0)). Or, c ↦ λ_f0(0)∗c∗λ_f0(1)⁻¹ définit un morphisme de groupes π₁(X, f₀(0)) → π₁(X, x) et le calcul ci-dessus montre qu'il envoie la classe de f₀∗f₂∗f₁⁻¹ sur Ψ_λ(∂h). Par suite :

${\displaystyle \Psi _{\lambda }(\partial h)=0\in \pi _{1}(X,x)^{ab}}$

donc Ψ est bien défini.

Indépendance en λ

Soit μ un autre choix de chemins d'origine x. Si

${\displaystyle \sigma =\sum _{i=1}^{k}n_{i}f_{i}}$

est un 1-cycle de X (avec n_i = ±1), alors :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{\mu }\left[\sum _{i=1}^{k}n_{i}f_{i}\right]&=\sum _{i=1}^{k}n_{i}\left[\mu _{f_{i}(0)}*f_{i}*\mu _{f_{i}(1)}^{-1}\right]\\&=\sum _{i=1}^{k}n_{i}\left(\left[\mu _{f_{i}(0)}*\lambda _{f_{i}(0)}^{-1}\right]+\left[\lambda _{f_{i}(0)}*f_{i}*\lambda _{f_{i}(1)}^{-1}\right]+\left[\lambda _{f_{i}(1)}*\mu _{f_{i}(1)}^{-1}\right]\right)\\&=\sum _{i=1}^{k}n_{i}\left[\mu _{f_{i}(0)}*\lambda _{f_{i}(0)}^{-1}\right]-\sum _{i=1}^{k}n_{i}\left[\mu _{f_{i}(1)}*\lambda _{f_{i}(1)}^{-1}\right]+\Psi _{\lambda }\left[\sum _{i=1}^{k}n_{i}f\right]\\&=\Psi _{\lambda }\left[\sum _{i=1}^{k}n_{i}f\right].\end{aligned}}}$

C'est seulement dans la dernière égalité où le fait que σ est un 1-cycle a été utilisé pour annuler les termes : en tenant compte des signes, pour tout y, il y a autant d'indices i tels que f_i(0) = y que d'indices i tels que f_i(1) = y.