Quadrilatère bicentrique

L'aire S d'un quadrilatère bicentrique peut être exprimée en fonction de quatre paramètres du quadrilatère de plusieurs manières différentes.

• Si les côtés sont de longueurs a, b, c, d, l'aire est donnée par[8] - [9] - [10]

${\displaystyle \displaystyle S={\sqrt {abcd}}.}$

C'est un cas particulier de la formule de Brahmagupta. Cette formule peut également être obtenue directement à partir de la formule trigonométrique de l'aire d'un quadrilatère circonscriptible. Il faut remarquer que l'inverse n'est pas vrai : certains quadrilatères non bicentriques ont également une aire égale à √abcd. Le rectangle non carré constitue un exemple d'un tel quadrilatère[11].

• L'aire peut également être exprimée à partir des quatre distances des points de contact aux sommets e, f, g, h[12] ^:p.128 :

${\displaystyle S={\sqrt[{4}]{efgh}}(e+f+g+h).}$

• Une autre formule pour l'aire du quadrilatère bicentrique ABCD de centre de cercle inscrit I est :

${\displaystyle S=AI\cdot CI+BI\cdot DI.}$

• En fonction des longueurs k, l des cordes joignant les points de contact et des longueurs p, q des diagonales, l'aire est donnée par[12]^:p.129:

${\displaystyle S={\frac {klpq}{k^{2}+l^{2}}}.}$

• Si m, n sont les longueurs des bimédianes du quadrilatère et k, l définis précédemment, l'aire est

${\displaystyle S=\left|{\frac {m^{2}-n^{2}}{k^{2}-l^{2}}}\right|kl}$

Cette formule ne peut pas être utilisée si le quadrilatère est un cerf-volant droit, le dénominateur étant nul dans ce cas.

• Si M, N sont les milieux des diagonales et E, F les points d'intersection des extensions des côtés opposés, l'aire est donnée par

${\displaystyle S={\frac {2MN\cdot EI\cdot FI}{EF}}}$

où I est le centre du cercle inscrit.

L'aire d'un quadrilatère bicentrique peut être exprimée en fonction de deux côtés opposés et de l'angle θ entre les diagonales par

${\displaystyle S=ac\tan {\frac {\theta }{2}}=bd\cot {\frac {\theta }{2}}.}$

En fonction de deux angles adjacents et du rayon r du cercle inscrit, l'aire est donnée par

${\displaystyle S=2r^{2}\left({\frac {1}{\sin {A}}}+{\frac {1}{\sin {B}}}\right).}$

L'aire est donnée en fonction du rayon du cercle circonscrit R et de celui du cercle inscrit r par

${\displaystyle S=r(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}})\sin \theta }$

où θ est l'un ou l'autre des angles entre les diagonales.

Si M, N sont les milieux des diagonales et E, F sont les points d'intersection des extensions des côtés opposés, alors l'aire peut également être exprimée par

${\displaystyle S=2MN{\sqrt {EQ\cdot FQ}}}$

où Q est le pied de la perpendiculaire à la droite (EF) passant par le centre du cercle inscrit.

Si r et R sont respectivement le rayon du cercle inscrit et celui du cercle circonscrit, alors l'aire S vérifie les inégalités[13]

${\displaystyle \displaystyle 4r^{2}\leqslant S\leqslant 2R^{2}.}$

Il n'y a égalité de part et d'autre que si le quadrilatère est un carré.

Une autre inégalité pour l'aire est[14] ^:p.39,#1203

${\displaystyle S\leqslant {\tfrac {4}{3}}r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}}$

Une inégalité similaire donnant une borne supérieure plus nette pour l'aire que la précédente est

${\displaystyle S\leqslant r(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}})}$

avec égalité si et seulement si le quadrilatère est un cerf-volant droit.

De plus, notant p le demi-périmètre[14]^:p.39,#1203 :

${\displaystyle 2{\sqrt {S}}\leqslant p\leqslant r+{\sqrt {r^{2}+4R^{2}}};}$

${\displaystyle 6S\leqslant ab+ac+ad+bc+bd+cd\leqslant 4r^{2}+4R^{2}+4r{\sqrt {r^{2}+4R^{2}}};}$[14]^:p.39,#1203

${\displaystyle 4Sr^{2}\leqslant abcd\leqslant {\frac {16}{9}}r^{2}(r^{2}+4R^{2}).}$

Le rayon du cercle circonscrit R et celui du cercle inscrit r satisfont à l'inégalité

${\displaystyle R\geqslant {\sqrt {2}}r}$

qui a été prouvé par L. Fejes Tóth en 1948[17]. L'égalité n'est atteinte que lorsque les deux cercles sont concentriques (ont le même centre), soit lorsque le quadrilatère est un carré. L'inégalité peut être prouvée de plusieurs manières différentes, l'une utilisant la double inégalité pour l'aire vue ci-dessus.

Une extension de l'inégalité précédente est[19] ^{:p. 141}

${\displaystyle {\frac {r{\sqrt {2}}}{R}}\leqslant {\frac {1}{2}}\left(\sin {\frac {A}{2}}\cos {\frac {B}{2}}+\sin {\frac {B}{2}}\cos {\frac {C}{2}}+\sin {\frac {C}{2}}\cos {\frac {D}{2}}+\sin {\frac {D}{2}}\cos {\frac {A}{2}}\right)\leqslant 1}$

où il y a égalité de chaque côté si et seulement si le quadrilatère est un carré. ^{:p. 81}

Le demi-périmètre p d'un quadrilatère bicentrique satisfait[17] ^:p.13

${\displaystyle {\sqrt {8r\left({\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}-r\right)}}\leqslant p\leqslant {\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}+r}$

De plus[14], ^:p.39,#1203

${\displaystyle 2pr^{2}\leqslant abc+abd+acd+bcd\leqslant 2r(r+{\sqrt {r^{2}+4R^{2}}})^{2}}$

et[14]^:p.62,#1599

${\displaystyle abc+abd+acd+bcd\leqslant 2{\sqrt {S}}(S+2R^{2}).}$

Le théorème de Fuss donne une relation entre le rayon du cercle inscrit r, le rayon du cercle circonscrit R et la distance x entre le centre du cercle inscrit I et le centre du cercle circonscrit O, pour tout quadrilatère bicentrique. La relation de Fuss est[1] - [10] - [20]

${\displaystyle {\frac {1}{(R-x)^{2}}}+{\frac {1}{(R+x)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}},}$

ou de manière équivalente

${\displaystyle \displaystyle 2r^{2}(R^{2}+x^{2})=(R^{2}-x^{2})^{2}}$,

ou encore ${\displaystyle (R+r+x)(R+r-x)(R-r+x)(R-r-x)=r^{4}}$.

Elle a été établie par Nicolas Fuss (1755–1826) en 1792. La résolution en x donne

${\displaystyle x={\sqrt {R^{2}+r^{2}-r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}}}.}$

Par exemple, pour ${\displaystyle R/r=2}$, ${\displaystyle x/r={\sqrt {5-{\sqrt {17}}}}\approx 0,93}$.

La relation de Fuss, qui est l'analogue de la relation d'Euler dans le triangle pour le quadrilatère bicentrique, dit que si un quadrilatère est bicentrique, ses deux cercles associés sont liés par cette relation. En fait, la réciproque est également vraie : étant donné deux cercles (l'un dans l'autre) de rayons R et r et de distance x entre leurs centres satisfaisant la condition du théorème de Fuss, il existe un quadrilatère convexe inscrit dans l'un d'eux et tangent à l'autre (puis, par le grand théorème de Poncelet, il en existe une infinité)[21].

Il existe des relations similaires pour les polygones bicentriques quelconques.

Écrire ${\displaystyle x^{2}\geqslant 0}$ dans l'expression de la relation de Fuss est une autre façon d'obtenir l'inégalité mentionnée ci-dessus ${\displaystyle R\geqslant {\sqrt {2}}r.}$ Une généralisation est[17] ^:p.5

${\displaystyle 2r^{2}+x^{2}\leqslant R^{2}\leqslant 2r^{2}+x^{2}+2rx.}$

Une autre formule pour la distance x entre les centres du cercle inscrit et du cercle circonscrit est due au mathématicien américain Leonard Carlitz (1907–1999). Il obtient que[22]

${\displaystyle \displaystyle x^{2}=R^{2}-2Rr\cdot \mu }$

avec

${\displaystyle \displaystyle \mu ={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)}{(a+c)^{2}(ac+bd)}}}={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)}{(b+d)^{2}(ac+bd)}}}}$

où a, b, c, d sont les longueurs des côtés du quadrilatère bicentrique.

Les longueurs e, f, g, h vérifient les inégalités suivantes[17] ^:p.3:

${\displaystyle 4r\leqslant e+f+g+h\leqslant 4r\cdot {\frac {R^{2}+x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}}$

et

${\displaystyle 4r^{2}\leqslant e^{2}+f^{2}+g^{2}+h^{2}\leqslant 4(R^{2}+x^{2}-r^{2})}$

Les longueurs des côtés a, b, c, d vérifient les inégalités[17] ^:p.5 :

${\displaystyle 8r\leqslant a+b+c+d\leqslant 8r\cdot {\frac {R^{2}+x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}}$

et

${\displaystyle 4(R^{2}-x^{2}+2r^{2})\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\leqslant 4(3R^{2}-2r^{2}).}$