Partie bornée d'un espace vectoriel topologique

Un espace localement convexe E sur le corps des réels ou des complexes est dit bornologique si toute partie convexe équilibrée M de E qui absorbe les parties bornées B de E (i.e., qui est telle qu'il existe α > 0 tel que λM ⊃ B pour |λ| ≥ α) est un voisinage de 0 dans E.

Une définition équivalente est la suivante :

Soit ${\displaystyle E[{\mathfrak {T}}]}$ un espace localement convexe (où ${\displaystyle {\mathfrak {T}}}$ désigne la topologie localement convexe de cet espace) et considérons la topologie localement convexe ${\displaystyle {\mathfrak {T}}^{\prime }}$ la plus fine qui a les mêmes bornés dans E que ${\displaystyle {\mathfrak {T}}}$. Alors ${\displaystyle E[{\mathfrak {T}}]}$ est bornologique si (et seulement si) ${\displaystyle {\mathfrak {T}}={\mathfrak {T}}^{\prime }}$.

• Une limite inductive d'espaces bornologiques est un espace bornologique.
• Un espace quotient d'un espace bornologique est bornologique (en revanche, un sous-espace fermé d'un espace bornologique n'est pas nécessairement bornologique).
• Un espace vectoriel semi-normé est bornologique.
• Un espace localement convexe métrisable est bornologique.
• Un espace bornologique semi-complet est limite inductive d'espaces de Banach (car il est ultrabornologique : voir infra). En particulier, un espace de Fréchet est limite inductive d'espaces de Banach.
• Un produit dénombrable d'espaces bornologiques est bornologique.
• Le dual fort d'un espace de Fréchet réflexif est bornologique (et tonnelé).
• Le dual fort d'un espace bornologique est complet.
• Un espace localement convexe E est bornologique si et seulement si tout opérateur linéaire borné de E dans un autre espace localement convexe est continu.
• Tout opérateur linéaire séquentiellement continu d'un espace bornologique dans un autre espace localement convexe est borné.

• L'espace de Schwartz S(ℝⁿ) des fonctions déclinantes sur ℝⁿ est un espace de Fréchet, donc est bornologique.
• Soit Ω un ouvert non vide de ℝⁿ ou, plus généralement, une variété différentielle de dimension finie paracompacte, et ℰ(Ω) l'espace des fonctions indéfiniment dérivables dans Ω. Cet espace est bornologique, car c'est un espace de Fréchet.
• Soit Ω comme ci-dessus et ${\displaystyle {\mathcal {D}}\left(\Omega \right)}$ l'espace des fonctions indéfiniment dérivables à support compact inclus dans Ω, muni de l'habituelle topologie limite inductive stricte d'une suite d'espaces de Fréchet. Cet espace est bornologique.
• Soit K un sous-ensemble compact de ℂⁿ et ${\displaystyle {\mathcal {O}}\left(K\right)}$ l'espace des germes des fonctions analytiques dans un voisinage ouvert de K. Cet espace est bornologique, car il est limite inductive d'espaces de Fréchet.

Un espace localement convexe séparé E sur le corps des réels ou des complexes est dit ultrabornologique si toute partie convexe de E qui absorbe les parties convexes, équilibrées, bornées et semi-complètes de E est un voisinage de 0 dans E.

Un espace ultrabornologique est bornologique et tonnelé.

Un espace bornologique et semi-complet est ultrabornologique. En particulier, un espace de Fréchet est ultrabornologique.

Pour qu'un espace localement convexe séparé soit ultrabornologique, il faut et il suffit qu'il soit limite inductive d'une famille d'espaces de Banach. Par conséquent (par transitivité des limites inductives), la limite inductive séparée d'une famille d'espaces ultrabornologiques est ultrabornologique.