Marcel-Paul Schützenberger

En algèbre, en théorie des demi-groupes, un groupe de Schützenberger est un groupe associé à une classe de la relation de Green H. Les groupes de Schützenberger associés à des H-classes différentes sont différentes, mais les groupes des H-classes d'une même D-classe sont isomorphes. De plus, si une H-classe est un groupe, le groupe de Schützenberger de cette H-classe est isomorphe à la H-classe elle-même. En fait, il y a deux groupes de Schützenberger associés à une H-classe, et ils sont anti-isomorphes (en).

Les groupes de Schützenberger ont été découverts par Schützenberger en 1957[8]. La terminologie apparaît dans le livre d'Alfred H. Clifford et Gordon B. Preston[9].

Le théorème de Chomsky-Schützenberger affirme que pour tout langage algébrique ${\displaystyle L}$, il existe un langage de Dyck ${\displaystyle D}$, un langage rationnel ${\displaystyle K}$ et un morphisme alphabétique ${\displaystyle \varphi }$ (c'est-à-dire tel que l'image d'une lettre est une lettre ou le mot vide) tels que

${\displaystyle L=\varphi (D\cap K)}$

Ce théorème signifie que les langages de Dyck sont les langages algébriques les plus « typiques ». Schützenberger introduit également, dans un autre article, les automates à pile.

Une série formelle sur un alphabet ${\displaystyle A}$ à coefficients dans un demi-anneau (ou semi-anneau) ${\displaystyle K}$ est une application ${\displaystyle S}$ du monoïde libre ${\displaystyle A^{*}}$ dans ${\displaystyle K}$. La valeur de ${\displaystyle S}$ pour un mot ${\displaystyle w}$ est notée ${\displaystyle (S,w)}$ et la série elle-même est écrite

${\displaystyle S=\sum _{w\in A^{*}}(S,w)\,w}$.

Dans une série d'articles parus dans les années 1960, Schützenberger développe une théorie des séries non commutatives rationnelles et algébriques qui étend et approfondit la théorie des langages formels. L'introduction de l'algèbre linéaire permet d'une part de quantifier l'ambiguïté dans les langages algébriques, et d'autre part d'obtenir des preuves algébriques. La théorie des séries rationnelles en une variable s'étend de manière remarquable aux séries rationnelles en plusieurs variables. Une série ${\displaystyle S}$ est rationnelle si elle est obtenue à partir des polynômes par un nombre fini d'opérations d'addition, de multiplication et d'étoiles de Kleene (pourvu que le terme constant de la série soit nul) :

${\displaystyle S^{*}=\sum _{n\geq 0}S^{n}}$.

Une représentation linéaire d'ordre ${\displaystyle N}$ est un triplet ${\displaystyle \rho =(\lambda ,\mu ,\gamma )}$, où ${\displaystyle \lambda \in K^{1\times N}}$, ${\displaystyle \mu :A^{*}\to K^{N\times N}}$ est un morphisme et ${\displaystyle \gamma \in K^{N\times 1}}$. La représentation reconnaît une série ${\displaystyle S}$ si ${\displaystyle (S,w)=\lambda \mu (w)\gamma }$ pour tout mot ${\displaystyle w}$. Une représentation linéaire est une extension des automates finis usuels, parfois appelée automate pondéré. Une série ${\displaystyle S}$ est reconnaissable s'il existe une représentation linéaire qui la reconnaît.

Une série est algébrique si elle est une composante d'une solution d'un système fini d'équations polynomiales. La théorie des séries algébriques est à la base de nombreux résultats de dénombrements d'objets combinatoire.

Parmi les résultats de Schützenberger les plus connus, il y a :

• Théorème de Kleene-Schützenberger : Pour tout semi-anneau ${\displaystyle K}$ et tout alphabet fini ${\displaystyle A}$, il y a égalité entre les séries rationnelles et les séries reconnaissables sur ${\displaystyle A}$ à coefficients dans ${\displaystyle K}$ ;
• Théorème de Jungen-Schützenberger : Pour tout semi-anneau ${\displaystyle K}$ commutatif et tout alphabet fini ${\displaystyle A}$, le produit de Hadamard d'une série algébrique et d'une série rationnelle est encore une série algébrique.

Un langage rationnel est sans étoile (star-free language en anglais) s'il peut être obtenu à partir des lettres d'un alphabet et de l'ensemble vide, par un ensemble fini d'opérations booléennes et de concaténations, mais sans l'opération étoile. Par exemple, le langage des mots sur l'alphabet ${\displaystyle \{a,\,b\}}$ qui ne contiennent pas deux lettres ${\displaystyle a}$ consécutives est sans étoile. En effet, c'est ensemble est défini par ${\displaystyle (\emptyset ^{c}aa\emptyset ^{c})^{c}}$, où ${\displaystyle X^{c}}$ dénote le complément d'une partie ${\displaystyle X}$ de ${\displaystyle \{a,\,b\}^{*}}$.

Schützenberger a caractérisé les langages sans étoile comme les langages dont le monoïde syntaxique est fini et apériodique[10]. Ce résultat est le point de départ de la théorie des variétés des langages formels.

Les langages sans étoile possèdent d'autres caractérisations. Ce sont les langages définissables dans la logique monadique du premier ordre avec l'opération d'ordre, notée FO[<][11].

Ce sont également les langages acceptés par les automates sans compteurs[12] et comme langages définissables en logique temporelle linéaire[13].

La correspondance de Robinson-Schensted établit une bijection entre le groupe symétrique et les paires (P,Q) de tableaux de Young. On doit à Schützenberger la description de nombreuses propriétés de la construction de Schensted[14]. Schützenberger a aussi introduit un algorithme en apparence très simple, le jeu de taquin, qui donne en particulier un moyen de construire le tableau P associé à une permutation.

Les séries formelles en variables non commutatives sont traités dans les livres suivants :

• (en) Jean Berstel et Christophe Reutenauer, Noncommutative Rational Series with Applications, Cambridge University Press, 2011.
• (en) M. Droste, W. Kuich et H. Vogler (eds.), Handbook of Weighted Automata, Springer-Verlag, 2009.
• (en) Jacques Sakarovitch, Elements of Automata Theory, Cambridge University Press, 2009.

• M. Lothaire, pseudonyme d'un groupe de mathématiciens de l'école de Schützenberger
• Schützenberger (famille)

• Site consacré à Marcel-Paul Schützenberger, sur le site de l'Institut d'électronique et d'informatique Gaspard-Monge à l'université Paris-Est Marne-la-Vallée
• Recueil d'hommages rendus par ses collègues, sur le site du Séminaire Lotharingien de Combinatoire
• (en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « Marcel Paul Schützenberger », sur MacTutor, université de St Andrews.

• Ressources relatives à la recherche :
  • La France savante
  • Persée
  • (en) Digital Bibliography & Library Project
  • (en) Mathematics Genealogy Project
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