Horizon cosmologique

Dans le cadre d'un modèle d'univers homogène et isotrope, on peut décrire celui-ci à l'aide d'une métrique dite de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker. L'élément de longueur associé à cette métrique s'écrit

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=c^{2}\mathrm {d} t^{2}-a^{2}(t)\gamma _{ij}\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j}}$,

où ${\displaystyle a(t)}$ représente la variation temporelle des distances cosmologiques (c'est le facteur d'échelle) et ${\displaystyle \gamma _{ij}}$ correspond, au facteur ${\displaystyle a^{2}(t)}$ près, aux coefficients de la métrique des sections spatiales de l'univers. Celles-ci peuvent être euclidiennes, sphériques ou hyperboliques, ce que l'on peut écrire sous la forme compacte

${\displaystyle \gamma _{ij}\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j}=\mathrm {d} \chi ^{2}+\mathrm {s} _{K}^{2}(\chi )\left(\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \mathrm {d} \varphi ^{2}\right)}$,

où les coordonnées des sections spatiales sont notées χ, θ et φ. Les deux dernières correspondent aux coordonnées angulaires habituelles des coordonnées sphériques usuelles, alors que χ correspond à une coordonnée radiale qui tient compte de la nature (euclidienne ou non) des sections spatiales. La fonction s s'écrit

${\displaystyle \mathrm {s} _{K}(\chi )=\left\{{\begin{array}{l}\chi \qquad \mathrm {si} \qquad K=0,\\{\frac {\sin({\sqrt {K}}\chi )}{\sqrt {K}}}\qquad \mathrm {si} \qquad K>0,\\{\frac {\sinh({\sqrt {|K|}}\chi )}{\sqrt {|K|}}}\qquad \mathrm {si} \qquad K<0.\end{array}}\right.}$

Le paramètre K décrit donc la nature des sections spatiales. Quand K est nul, les sections spatiales sont euclidiennes et la coordonnée χ s'identifie à la coordonnée radiale habituelle (en général notée r).

Dans cette métrique, les objets astrophysiques sont essentiellement immobiles, au sens où leurs coordonnées χ, θ, φ ne changent pas au cours du temps (omission faite de leur mouvement propre éventuel, mais celui-ci est négligeable à l'échelle cosmologique). La coordonnée t est appelée temps cosmique. Elle représente le temps mesuré par un objet immobile par rapport aux autres coordonnées. Il est commode d'effectuer un changement de variable, où le temps cosmique est remplacé par une quantité η, appelée temps conforme, selon

${\displaystyle c\mathrm {d} t=a(t)\mathrm {d} \eta }$.

Le facteur d'échelle peut alors être exprimé indifféremment en fonction de t ou de η (avec bien sûr des formes fonctionnelles différentes). L'élément de longueur se réécrit alors

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=a^{2}(\eta )\left[\mathrm {d} \eta ^{2}-\mathrm {d} \chi ^{2}-\mathrm {s} _{K}^{2}(\chi )\left(\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \mathrm {d} \varphi ^{2}\right)\right]}$.

La relativité restreinte enseigne que l'élément de longueur associé à la trajectoire d'un photon est nul. Si on considère la trajectoire d'un photon émis en un point dans la direction de l’origine du système de coordonnées, les coordonnées θ et φ sont en prime constantes. On a donc immédiatement

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=0\Rightarrow \mathrm {d} \eta =\mathrm {d} \chi }$.

Ainsi l'intervalle en termes de temps conforme entre émission et réception du photon correspond à la variation de la coordonnée χ le long de la trajectoire. Un objet situé à la coordonnée χ est distant à l'instant ${\displaystyle t_{0}}$ de

${\displaystyle D=a(t)\chi }$.

Pour que cet objet ait pu émettre de la lumière que nous recevons, il faut que l'intervalle en temps conforme ${\displaystyle \Delta \eta }$ entre émission et réception du signal soit égal à χ. La distance qui nous sépare d'un objet dont on reçoit la lumière est donc

${\displaystyle D=a(t_{0})\Delta \eta }$.

En utilisant la formule reliant le temps conforme au temps cosmique, on trouve

${\displaystyle \Delta \eta =\int {\frac {c\;\mathrm {d} t}{a(t)}}}$,

l'intégrale étant prise entre les instant d'émission du signal (noté ${\displaystyle t_{*}}$) et de réception, soit aujourd'hui (${\displaystyle t_{0}}$). On a donc

${\displaystyle D=a(t_{0})\int _{t_{*}}^{t_{0}}{\frac {c\;\mathrm {d} t}{a(t)}}}$.

On peut en toute généralité définir le décalage vers le rouge par le rapport entre les distances entre deux galaxies lointaines à une époque donnée et aujourd'hui, selon la formule

${\displaystyle {\frac {1}{1+z(t)}}={\frac {a(t)}{a(t_{0})}}}$,

écriture qui signifie que l'on relie l'âge de l'univers t à une époque donnée au décalage vers le rouge, que l'on observe aujourd'hui, d'un signal émis à cette époque, cette relation étant pour l'heure indéterminée. Finalement, on obtient

${\displaystyle D=\int _{t_{*}}^{t_{0}}\left(1+z(t)\right)c\;\mathrm {d} t}$.

Partant de l'expression

${\displaystyle D_{\mathrm {h} }=a(t_{0})\int _{t_{*}}^{t_{0}}{\frac {c\;\mathrm {d} t}{a(t)}}}$,

on effectue un changement de variable, où l'on remplace le temps t par le facteur d'échelle a, en utilisant la formule donnant le taux d'expansion H de l'univers,

${\displaystyle H={\frac {1}{a}}{\frac {\mathrm {d} a}{\mathrm {d} t}}}$,

d'où

${\displaystyle \mathrm {d} t={\frac {1}{H}}{\frac {\mathrm {d} a}{a}}}$.

On obtient alors

${\displaystyle D_{\mathrm {h} }=a(t_{0})\int _{t_{*}}^{t_{0}}{\frac {c}{H(a)}}{\frac {\mathrm {d} a}{a^{2}}}}$,

le taux d'expansion étant alors vu non pas comme une fonction du temps t, mais du facteur d'échelle a. On définit ensuite x comme le facteur d'échelle normalisé à aujourd'hui, à savoir

${\displaystyle x={\frac {a(t)}{a(t_{0})}}={\frac {1}{1+z}}}$, d'où

${\displaystyle D_{\mathrm {h} }=\int _{t_{*}}^{t_{0}}{\frac {c}{H(x)}}{\frac {\mathrm {d} x}{x^{2}}}}$.

En notant ${\displaystyle H_{0}}$ la valeur actuelle du taux d'expansion, on a

${\displaystyle D_{\mathrm {h} }={\frac {c}{H_{0}}}\int _{*}^{1}{\frac {H_{0}}{H(x)}}{\frac {\mathrm {d} x}{x^{2}}}}$,

la borne d'intégration correspondant à la valeur de x à l'époque ${\displaystyle t_{*}}$. Les équations de Friedmann permettent de relier le taux d'expansion aux densités d'énergie ${\displaystyle \rho _{i}}$du contenu matériel de l'univers selon (voir Équations de Friedmann)

${\displaystyle 3\left({\frac {H^{2}}{c^{2}}}+{\frac {K}{a^{2}}}\right)=\kappa \sum _{i}\rho _{i}}$,

la constante κ étant la constante d'Einstein. Les densité d'énergie des espèces concernées sont des fonctions du temps, et donc du facteur d'échelle. Pour une espèce dont le rapport de la pression à la densité d'énergie est ${\displaystyle w_{i}}$, la densité varie en fonction du facteur d'échelle selon (voir Équation de conservation (cosmologie))

${\displaystyle \rho _{i}\propto a^{-3(1+w_{i})}}$.

Sans perte de généralité, on peut donc écrire les densités fonction des densités d'énergie actuelles ${\displaystyle \rho _{i}^{0}}$selon

${\displaystyle \rho _{i}=\rho _{i}^{0}x^{-3(1+w_{i})}}$,

la quantité ${\displaystyle w_{i}}$ étant une constante ou une fonction du temps (ou de x, ce qui revient au même).

En définissant la densité critique actuelle par

${\displaystyle \rho _{\mathrm {c} }={\frac {3H_{0}}{\kappa c^{2}}}}$,

il vient, en divisant par ${\displaystyle 3H_{0}^{2}/c^{2}}$,

${\displaystyle {\frac {H^{2}}{H_{0}^{2}}}+{\frac {Kc^{2}}{H_{0}^{2}a^{2}}}=\sum _{i}\Omega _{i}^{0}x^{-3(1+w_{i})}}$,

les quantité ${\displaystyle \Omega _{i}^{0}}$ étant les paramètres de densité actuels, définis par le rapport ${\displaystyle \rho _{i}^{0}/\rho _{\mathrm {c} }}$. En évaluant cette équation aujourd'hui (où ${\displaystyle H=H_{0}}$ et ${\displaystyle x=1}$), il vient

${\displaystyle 1+{\frac {Kc^{2}}{H_{0}^{2}a_{0}^{2}}}=\sum _{i}\Omega _{i}^{0}}$,

On a ainsi

${\displaystyle {\frac {Kc^{2}}{H_{0}^{2}a^{2}}}={\frac {Kc^{2}}{H_{0}^{2}a_{0}^{2}}}{\frac {1}{x^{2}}}=-\left(1-\sum _{i}\Omega _{i}^{0}\right){\frac {1}{x^{2}}}}$,

pour finalement obtenir

${\displaystyle {\frac {H^{2}}{H_{0}^{2}}}=\sum _{i}\Omega _{i}^{0}x^{-3(1+w_{i})}+\left(1-\sum _{i}\Omega _{i}^{0}\right){\frac {1}{x^{2}}}}$.

La quantité D recherchée s'exprime donc selon

${\displaystyle D_{\mathrm {h} }={\frac {c}{H_{0}}}\int _{*}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {\sum _{i}\Omega _{i}^{0}x^{1-3w_{i}}+\left(1-\sum _{i}\Omega _{i}^{0}\right)x^{2}}}}}$.

Dans le cas où le contenu matériel de l'univers se réduit à de la radiation (pression égale à un tiers de la densité d'énergie, ${\displaystyle w_{\mathrm {r} }=1/3}$), de la matière non relativiste (pression négligeable, ${\displaystyle w_{\mathrm {m} }=0}$) et une constante cosmologique (pression opposée à la densité d'énergie, ${\displaystyle w=-1}$), alors on retrouve bien

${\displaystyle D_{\mathrm {h} }={\frac {c}{H_{0}}}\int _{*}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {\Omega _{\mathrm {r} }^{0}+\Omega _{\mathrm {m} }^{0}x+\left(1-\Omega _{\mathrm {r} }^{0}-\Omega _{\mathrm {m} }^{0}-\Omega _{\Lambda }^{0}\right)x^{2}+\Omega _{\Lambda }^{0}x^{4}}}}}$.