Groupe d'homotopie

Il y a plusieurs définitions équivalentes possibles.

Première définition

Soit X un espace topologique et ${\displaystyle x_{0}}$ un point de X. Soit ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{i}}$ la boule unité de dimension i de l'espace euclidien ${\displaystyle \mathbb {R} ^{i}}$. Son bord ${\displaystyle \partial {\mathcal {B}}^{i}={\mathcal {S}}^{i-1}}$ est la sphère unité de dimension ${\displaystyle i-1}$.

Le i-ième groupe d'homotopie supérieur ${\displaystyle \pi _{i}(X,x_{0})}$ est l'ensemble des classes d'homotopie relative à ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{i-1}}$ d'applications continues ${\displaystyle f:{\mathcal {B}}^{i}\to X}$ telle que : ${\displaystyle f({\mathcal {S}}^{i-1})=\{x_{0}\}}$.

Un élément de ${\displaystyle \pi _{i}(X,x_{0})}$ est donc représenté par une fonction continue de la i-boule vers X, qui envoie la ${\displaystyle (i-1)}$-sphère vers le point de référence ${\displaystyle x_{0}\in X}$, la fonction étant définie modulo homotopie relative à ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{i-1}}$.

Deuxième définition

En identifiant le bord de la boule ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{i}}$ à un point ${\displaystyle s_{0}}$, on obtient une sphère ${\displaystyle \mathbb {S} ^{i}}$ et chaque élément de ${\displaystyle \pi _{i}(X,x_{0})}$ se définit par les classes d'homotopie des applications ${\displaystyle \mathbb {S} ^{i}\to X}$ par lesquelles le point base ${\displaystyle s_{0}}$ de la sphère se transforme en ${\displaystyle x_{0}}$. On peut dire que les éléments du groupe ${\displaystyle \pi _{i}(X,x_{0})}$ sont les composantes connexes de l'espace topologique des applications ${\displaystyle \mathbb {S} ^{i}\to X}$ pour lesquelles on a : ${\displaystyle s_{0}\mapsto x_{0}}$.

Pour définir une opération sur les classes d'homotopie, il est utile d'identifier la boule ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{i}}$ avec le cube ${\displaystyle \mathbb {I} ^{i}=[0,1]^{i}}$ de dimension i dans ℝⁱ.

La définition du produit est la suivante : La somme de deux applications du cube ${\displaystyle f,g:(\mathbb {I} ^{i},\mathbb {S} ^{i-1})\to (M,x_{0})}$ est l'application ${\displaystyle f+g:(\mathbb {I} ^{i},\mathbb {S} ^{i-1})\to (M,x_{0})}$ définie par la formule :

${\displaystyle (f+g)(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n})=f(2t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}){\text{ pour }}t_{1}\in \left[0,1/2\right]}$

et

${\displaystyle (f+g)(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n})=g(2t_{1}-1,t_{2},\ldots ,t_{n}){\text{ pour }}t_{1}\in \left[1/2,1\right].}$

Lorsque l'on passe aux classes d'homotopie, la loi de composition obtenue est associative, unifère, tout élément admet un inverse et la loi est commutative si i ≥ 2.

On définit donc un groupe commutatif si i ≥ 2 (cf. Argument de Eckmann-Hilton (en)).

On obtient le groupe fondamental si i = 1.

Un espace est dit asphérique ou un K(π, 1) si ses groupes d'homotopies sont triviaux sauf son π₁.

Contrairement au groupe fondamental (i = 1) et aux groupes d'homologie et de cohomologie, il n'y a pas de méthode simple de calcul des groupes d'homotopie dès que i ≥ 2 (il manque un analogue des théorèmes d'excision et de Van-Kampen).