Tour de Postnikov
En théorie de l'homotopie, une branche de la topologie algébrique, une tour de Postnikov (ou système de Postnikov)[1] est un objet permettant de reconstruire un espace topologique à partir de ses groupes d'homotopie.
Définition
Une tour de Postnikov pour un espace X connexe par arcs est[2] un morphisme de X vers une suite d'espaces et d'applications continues, …→ Xn →…→ X1→ X0, tel que
- chaque application X→Xn induit des isomorphismes des πk pour k ≤ n ;
- πk(Xn) = 0 pour k > n.
Propriétés
Tout CW-complexe connexe possède une telle « tour »[2].
On peut de proche en proche remplacer chaque application Xn→Xn – 1 par une fibration, dont la fibre est un espace d'Eilenberg-MacLane K(πn(X), n), d'après sa longue suite exacte d'homotopie[2]. L'application de X dans la limite projective des Xn est alors une équivalence faible d'homotopie.
Le CW-complexe connexe X possède une tour de Postnikov de fibrations principales si et seulement si l'action de π1(X) sur les πn(X) (n > 1) est triviale.
Notes et références
- (en) Mikhail M. Postnikov, « Determination of the homology groups of a space by means of the homotopy invariants », Doklady Akademii Nauk SSSR, vol. 76,‎ , p. 359-362
- (en) Allen Hatcher, Algebraic Topology, New York, Cambridge University Press, , 544 p. (ISBN 978-0-521-79540-1, lire en ligne), p. 410-413