Théorème de Whitehead

Soient ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle Y}$ deux espaces topologiques, de points de bases respectifs ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$, et

${\displaystyle f:X\to Y}$

une application continue telle que ${\displaystyle f(x)=y}$. On considère les morphismes induits pour n ≥ 0,

${\displaystyle f_{n}:\pi _{n}(X,x)\to \pi _{n}(Y,y),}$

où ${\displaystyle \pi _{n}}$ désigne le n^e groupe d'homotopie si n ≥ 1 et ${\displaystyle \pi _{0}}$ désigne l'ensemble des composantes connexes par arcs.

(${\displaystyle f_{n}}$ est donc un morphisme de groupes si n ≥ 1, et un morphisme d'ensembles pointés si n = 0.)

On dit que ${\displaystyle f}$ est une équivalence faible d'homotopie si tous les ${\displaystyle f_{n}}$ sont des isomorphismes.

D'après le théorème d'Hurewicz, tout quasi-isomorphisme entre deux CW-complexes simplement connexes est une équivalence faible d'homotopie, ce qui explique que le théorème de Whitehead soit parfois énoncé sous la forme[3] :

Tout quasi-isomorphisme entre deux CW-complexes simplement connexes est une équivalence d'homotopie.

Il ne suffit pas que les groupes d'homotopies de deux CW-complexes connexes X et Y soient isomorphes pour que X et Y soient homotopiquement équivalents : l'hypothèse que tous ces isomorphismes sont induits par une même application de X dans Y est indispensable.

Par exemple, pour m et n distincts > 1, S^m × P_n(ℝ) et P_m(ℝ) × Sⁿ ont mêmes groupes d'homotopie (les mêmes que S^m× Sⁿ, sauf ℤ₂ pour le groupe fondamental) mais pas même type d'homotopie, puisque leurs groupes d'homologie diffèrent (d'après le théorème de Künneth). De même pour P_m(ℂ) × S^{2n + 1} et S^{2m + 1} × P_n(ℂ). On peut construire d'autres exemples en remarquant qu'un espace connexe X n'a généralement pas le même type d'homotopie que le produit d'espaces d'Eilenberg-MacLane X' = K(π₁X, 1) × K(π₂X, 2) × … : par exemple, pour X = S², H₃(X') ≠ 0. On peut même facilement trouver des espaces non homotopiquement équivalents ayant à la fois même homotopie et même homologie[4].

L'hypothèse que X et Y sont des CW-complexes est également indispensable, même pour des sous-espaces de ℝⁿ. Par exemple, le « cercle polonais », courbe plane obtenue en ajoutant à la courbe sinus fermée du topologue un arc joignant (0, –1) à (1, sin 1), a tous ses groupes d'homotopie triviaux, mais n'est pas contractile. L'étude des généralisations possibles du théorème de Whitehead à des espaces plus généraux fait partie de la théorie des formes (en).

Dans une catégorie à modèles fermés, toute équivalence faible entre objets fibrants-cofibrants est une équivalence d'homotopie.