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Formule des traces de Selberg

En mathĂ©matiques, la formule des traces de Selberg est un rĂ©sultat central en analyse harmonique non commutative. Elle fournit une expression pour la trace de certains opĂ©rateurs intĂ©graux ou diffĂ©rentiels agissant sur des espaces de fonctions sur un espace homogĂšne G/Γ, oĂč G est un groupe de Lie et Γ un groupe discret, ou plus gĂ©nĂ©ralement sur un double quotient H\G/Γ.

Un cas particulier important est celui oĂč l'espace est une surface de Riemann compacte S. L'article initial de Atle Selberg en 1956[1] traitait de ce cas, pour l'opĂ©rateur laplacien et ses puissances. Les traces des puissances du Laplacien permettent dans ce cas de dĂ©finir une forme de fonction zĂȘta. L'intĂ©rĂȘt est l'analogie puissante qui apparaĂźt alors entre la formule obtenue et les formules explicites de la thĂ©orie des nombres. Les gĂ©odĂ©siques fermĂ©es de S jouent le rĂŽle des nombres premiers. Cette relation a Ă©tĂ© immĂ©diatement reconnue comme une lueur nouvelle sur l'hypothĂšse de Riemann.

La formule des traces de Selberg établit une relation entre le spectre de l'opérateur de Laplace-Beltrami sur une surface compacte à courbure négative constante et les longueurs des géodésiques périodiques sur cette surface.

Elle généralise la formule sommatoire de Poisson valide pour le tore.

DĂ©finitions

Toute surface X compacte Ă  courbure nĂ©gative constante peut se reprĂ©senter comme l'espace quotient du demi-plan de PoincarĂ© ℍ par un sous-groupe discret Γ du groupe PSL(2, ℝ) des isomĂ©tries :

.

Considérons l'opérateur de Laplace-Beltrami sur X :

.

On peut dĂ©montrer que, la surface Ă©tant compacte, son spectre est discret, c’est-Ă -dire que les valeurs propres λn, solutions de l'Ă©quation aux valeurs propres

,

forment une suite infinie qu'on peut ranger par ordre croissant :

Les fonctions propres sont dans et vérifient la condition de périodicité :

.

En introduisant le changement de variable :

,

les valeurs propres sont indexées par .

Formule de Selberg

Cette formule s'Ă©crit :

.

La somme est prise sur toutes les classes de conjugaison hyperboliques distinctes. La fonction h doit ĂȘtre :

  • analytique dans la bande , oĂč ÎŽ est une constante positive ;
  • ĂȘtre paire : h(–r) = h(r) ;
  • satisfaire la majoration : , oĂč M est une autre constante positive.

La fonction g est la transformĂ©e de Fourier de h, c’est-Ă -dire :

.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalitĂ© issu de l’article de WikipĂ©dia en anglais intitulĂ© « Selberg trace formula » (voir la liste des auteurs).
  1. (en) A. Selberg, « Harmonic analysis and discontinuous groups in weakly symmetric Riemannian spaces with applications to Dirichlet series », Journal of the Indian Mathematical Society, vol. 20,‎ , p. 47-87.

Voir aussi

Articles connexes

Bibliographie

  • (en) H. P. McKean, « Selberg's Trace Formula as Applied to a Compact Riemannian Surface », Comm. Pure Appl. Math., vol. 25,‎ , p. 225-246. « Erratum », Comm. Pure Appl. Math., vol. 27,‎ , p. 134
  • (en) D. Hejhal, « The Selberg Trace Formula and the Riemann Zeta Function », Duke Math. J., vol. 43,‎ , p. 441-482
  • (en) D. Hejhal, The Selberg Trace Formula for PSL(2, ℝ), vol. 1, coll. « Springer Lecture Notes » (no 548),
  • (en) A. B. Venkov, « Spectral theory of automorphic functions, the Selberg zeta function and some problems of analytic number theory and mathematical physics », Russian Mathematical Surveys, vol. 34,‎ , p. 79-153
  • P. Cartier et A. Voros (de), « Une nouvelle interprĂ©tation de la formule des traces de Selberg », dans The Grothendieck Festschrift, BirkhĂ€user, coll. « Progress in Mathematics » (no 87), , p. 1-67

Lien externe

(en) Matthew R. Watkins, Selberg trace formula and zeta functions (page personnelle)

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