Formule sommatoire de Poisson

Pour toute fonction ${\displaystyle f}$ à valeurs complexes et intégrable sur ℝ, on appelle transformée de Fourier de ${\displaystyle f}$ l'application ${\displaystyle {\hat {f}}}$ définie par

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad {\hat {f}}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(t){\rm {e}}^{-{\rm {i}}xt}~\mathrm {d} t.}$

Soient a un réel strictement positif et ω₀ = 2π/a.

Si f est une fonction continue de ℝ dans ℂ et intégrable telle que ${\displaystyle \exists C>0\quad \exists \alpha >1\quad \forall x\in \mathbb {R} \quad |f(x)|\leq {\frac {C}{\left(1+|x|\right)^{\alpha }}}}$ et ${\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }|{\hat {f}}(m\omega _{0})|<\infty }$[1], alors

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }f(t+na)={\frac {1}{a}}\sum _{m=-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(m\omega _{0}){\rm {e}}^{{\rm {i}}m\omega _{0}t}.}$

Le membre de gauche de la formule est la somme S d'une série de fonctions continues. La première des deux hypothèses sur ${\displaystyle f}$ implique que cette série converge normalement sur toute partie bornée de ℝ. Par conséquent, sa somme est une fonction continue. De plus, S est a-périodique par définition. On peut donc calculer les coefficients complexes de sa série de Fourier : ${\displaystyle c_{m}={\frac {1}{a}}\int _{0}^{a}S(t){\rm {e}}^{-\mathrm {i} m\omega _{0}t}~\mathrm {d} t={\frac {1}{a}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }\int _{0}^{a}f(t+na){\rm {e}}^{-{\rm {i}}m\omega _{0}t}~\mathrm {d} t,}$ l'interversion série-intégrale étant justifiée par la convergence normale de la série définissant S. On en déduit ${\displaystyle c_{m}={\frac {1}{a}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }\int _{0}^{a}f(t+na){\rm {e}}^{-{\rm {i}}m\omega _{0}(t+na)}~\mathrm {d} t={\frac {1}{a}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }\int _{na}^{(n+1)a}f(s){\rm {e}}^{-{\rm {i}}m\omega _{0}s}~\mathrm {d} s={\frac {1}{a}}\int _{-\infty }^{\infty }f(s){\rm {e}}^{-\mathrm {i} m\omega _{0}s}~\mathrm {d} s={\frac {1}{a}}{\hat {f}}(m\omega _{0}).}$

D'après la seconde hypothèse sur ${\displaystyle f}$, la série des c_m est donc absolument convergente. En sommant la série de Fourier de S, on obtient bien ${\displaystyle S(t)=\sum _{m\in \mathbb {Z} }c_{m}{\rm {e}}^{\mathrm {i} mt\omega _{0}}={\frac {1}{a}}\sum _{m\in \mathbb {Z} }{\hat {f}}(m\omega _{0}){\rm {e}}^{\mathrm {i} mt\omega _{0}}.}$

Si l'on utilise les conventions suivantes :

${\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\tilde {F}}(\nu ){\rm {e}}^{-{\rm {i}}2\pi x\nu }~\mathrm {d} \nu ,}$

${\displaystyle {\tilde {F}}(\nu )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\rm {e}}^{+{\rm {i}}2\pi x\nu }~\mathrm {d} x,}$

alors la formule sommatoire de Poisson se réécrit (avec t = 0 et a = 1)[2] :

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }f(n)=\sum _{m\in \mathbb {Z} }{\tilde {F}}(m).}$

Une façon pratique de passer outre les conditions de régularité imposées à la fonction f est de se placer dans le contexte plus général de la théorie des distributions. Si l'on note ${\displaystyle \delta (x)}$ la distribution de Dirac alors si l'on introduit la distribution suivante :

${\displaystyle \Delta (x)\equiv \sum _{n\in \mathbb {Z} }\delta (x-n),}$

une façon élégante de reformuler la sommation est de dire que ${\displaystyle \Delta (x)}$ est sa propre transformée de Fourier.

Le cercle, ou tore T à une dimension, est une courbe compacte qui peut se représenter comme l'espace quotient de la droite euclidienne ℝ par un sous-groupe discret aℤ du groupe des isométries :

${\displaystyle T=\mathbb {R} /a\mathbb {Z} }$.

Les géodésiques périodiques du tore plat ont pour longueurs :

${\displaystyle l_{n}=na,\quad n\in \mathbb {N} .}$

Considérons l'opérateur de Laplace-Beltrami sur T :

${\displaystyle \Delta u(x)={\frac {{\rm {d}}^{2}u(x)}{{\rm {d}}x^{2}}}.}$

Cherchons en particulier ses valeurs propres λ_n, solutions de l'équation aux valeurs propres :

${\displaystyle -\Delta u_{n}(x)=\lambda _{n}u_{n}(x).}$

où les fonctions propres u_n sont dans ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} )}$ et vérifient la condition de périodicité :

${\displaystyle \forall p\in \mathbb {Z} \quad u_{n}(x+pa)=u_{n}(x).}$

Ces valeurs propres forment un ensemble dénombrable qu'on peut ranger en une suite croissante :

${\displaystyle 0=\lambda _{0}<\lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \cdots ,\quad \lambda _{n}={\frac {4\pi ^{2}n^{2}}{a^{2}}}.}$