Fonction gaussienne

Les fonctions gaussiennes sont analytiques, de limite nulle en l'infini.

La largeur à mi-hauteur H vaut

${\displaystyle H=2{\sqrt {2\,\ln(2)}}\ \sigma \simeq 2,3548\sigma \;;}$

la demi-largeur à mi-hauteur vaut donc environ 1,177·σ.

La fonction gaussienne est infiniment dérivable partout. Les dérivées successives de la fonction gaussienne font apparaitre les polynômes d'Hermite.

S'il est aisé de calculer les dérivées d'une fonction gaussienne, on ne peut pas écrire ses primitives à l'aide des fonctions élémentaires (c'est une conséquence d'un théorème de Liouville) ; on les exprime à l'aide de la fonction d'erreur. On peut cependant calculer l'intégrale d'une gaussienne sur la droite réelle, par l'intégrale de Gauss :

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x={\sqrt {\pi }}}$

et, de manière générale :

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }a\mathrm {e} ^{-{(x-\mu )^{2} \over 2\sigma ^{2}}}\,\mathrm {d} x=a\sigma \cdot {\sqrt {2\pi }}.}$

Ainsi, cette intégrale vaut 1 si et seulement si ${\displaystyle a={{1} \over {\sigma {\sqrt {2\pi }}}}}$, et alors, la gaussienne a les propriétés d'une densité de probabilité d'une variable aléatoire suivant une loi normale d'espérance μ et de variance σ². Graphiquement "a" représente l'amplitude de la fonction gaussienne, son ordonnée maximale.

Les fonctions gaussiennes centrées en 0 minimisent le principe d'incertitude de Fourier.

Soient deux fonctions gaussiennes ${\textstyle f_{1}(x)={\frac {1}{\sigma _{1}{\sqrt {2\,\pi }}}}\,\mathrm {e} ^{-{\frac {\left(x-\mu _{1}\right)^{2}}{2\sigma _{1}^{2}}}}}$et ${\textstyle f_{2}(x)={\frac {1}{\sigma _{2}{\sqrt {2\,\pi }}}}\,\mathrm {e} ^{-{\frac {\left(x-\mu _{2}\right)^{2}}{2\sigma _{2}^{2}}}}}$.

La somme de ces deux fonctions ${\textstyle f(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x)}$ ne se simplifie pas plus.

En revanche, si X₁ et X₂ sont des variables aléatoires gaussiennes indépendantes de densité de probabilité f₁(x) et f₂(x) respectivement, alors la variable aléatoire X = X₁ + X₂ est aussi gaussienne et sa densité de probabilité est donnée par le produit de convolution de f₁(x) et f₂(x).

Le produit de convolution f = f₁ * f₂ de deux fonctions gaussiennes est encore une fonction gaussienne, de moyenne ${\displaystyle \mu =\mu _{1}+\mu _{2}}$ et d'écart-type ${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}}}$. Dans le cadre des probabilités, il s'agit de la densité de probabilité de la somme de deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois normales.

Le produit de deux fonctions gaussiennes est encore une fonction gaussienne ; cependant, les propriétés de densité de probabilités ne sont pas conservées par le produit (le facteur de normalisation a n'étant pas forcément tel que l'intégrale vaille 1)[1]. Par exemple[1] le produit de deux fonctions gaussiennes de même paramètre μ = μ₁ = μ_2, a pour paramètres a = a₁a₂, μ et ${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\frac {\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}^{2}}{\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}}}}$. Dans le cadre des probabilités, la densité de probabilité du produit de deux loi normales a une expression analytique faisant intervenir une fonction de Bessel[2].

Comme la fonction gaussienne est une fonction propre de la transformée de Fourier continue, on obtient par la formule sommatoire de Poisson :

${\displaystyle \sum _{k\in \mathbb {Z} }\exp \left(-\pi \cdot \left({\frac {k}{c}}\right)^{2}\right)=c\cdot \sum _{k\in \mathbb {Z} }\exp(-\pi \cdot (kc)^{2})}$

En reprenant les notations de la forme générale, on remarque que A désigne la hauteur du sommet de la courbe, et (x₀, y₀) ses coordonnées.

En définissant :

${\displaystyle a={\frac {\cos ^{2}\theta }{2\sigma _{x}^{2}}}+{\frac {\sin ^{2}\theta }{2\sigma _{y}^{2}}}}$

${\displaystyle b=-{\frac {\sin(2\theta )}{4\sigma _{x}^{2}}}+{\frac {\sin(2\theta )}{4\sigma _{y}^{2}}}}$

${\displaystyle c={\frac {\sin ^{2}\theta }{2\sigma _{x}^{2}}}+{\frac {\cos ^{2}\theta }{2\sigma _{y}^{2}}}}$

alors la cloche tourne dans le sens horaire d'un angle θ (pour le sens trigonométrique, il suffit de prendre l'opposé de b). On peut le voir dans les exemples suivants :

${\displaystyle \theta =0}$.

${\displaystyle \theta =\pi /6}$.

${\displaystyle \theta =\pi /3}$.

• Intégrale de Gauss
• Loi normale
• Noyau de la chaleur
• Transformation de Weierstrass
• Autres courbes en cloche :
  • Fonction lorentzienne
  • Fonction de Voigt

• Jean-Pierre Kahane, « La courbe verte en cloche » sur Images des mathématiques, CNRS, 2019.