Faisceau gaussien

Pour un faisceau gaussien se propageant dans le vide, la largeur du faisceau ${\displaystyle \,w(z)}$ sera à une valeur minimale de ${\displaystyle w_{0}}$ à son origine. Pour une longueur d'onde ${\displaystyle \lambda }$ et à une distance ${\displaystyle z}$ le long de l'axe du faisceau, la variation de la largeur du faisceau sera :

${\displaystyle w(z)=w_{0}\,{\sqrt {1+{\left({\frac {z}{z_{0}}}\right)}^{2}}}}$

où l'origine de l'axe ${\displaystyle z}$ est définie comme le point d'origine du faisceau et :

${\displaystyle z_{0}={\frac {\pi w_{0}^{2}}{\lambda }}}$

C'est ce qu'on appelle la portée de Rayleigh ou la profondeur de champ.

À une distance de l'origine égale à ${\displaystyle z_{0}}$, la largeur du faisceau ${\displaystyle w}$ est :

${\displaystyle w(\pm z_{0})=w_{0}{\sqrt {2}}\,}$

La distance entre ${\displaystyle +z_{0}}$ et ${\displaystyle -z_{0}}$ est appelé le paramètre confocal (qui est égal à deux fois la longueur de Rayleigh) :

${\displaystyle b=2z_{0}={\frac {2\pi w_{0}^{2}}{\lambda }}\ .}$

${\displaystyle R(z)}$ est le rayon de courbure du front d'onde du faisceau. Sa valeur est une fonction de la position telle que :

${\displaystyle R(z)=z\left[{1+{\left({\frac {z_{0}}{z}}\right)}^{2}}\right]\ .}$

Le paramètre ${\displaystyle w(z)}$ s'approche d'une ligne droite pour ${\displaystyle z\gg z_{0}}$. L'angle entre cette ligne droite et l'axe central du faisceau est appelé la divergence du faisceau. Elle est donnée par :

${\displaystyle \tan {\theta }\simeq {\frac {\lambda }{\pi w_{0}}}\qquad (\theta \mathrm {\ en\ radians.} )}$

L'angle d'ouverture du faisceau depuis son origine est donc :

${\displaystyle \Theta =2\theta \ }$

• Cette propriété d'un faisceau gaussien rend un faisceau laser très évasé si à son origine il a un diamètre très petit. Pour qu'il reste constant sur une grande distance, il faut donc que ce faisceau soit de grand diamètre à son origine.
• Comme le modèle gaussien utilise une approximation paraxiale, il ne s'applique plus lorsque l'on regarde en un point où le front d'onde fait plus de 30° avec la direction de propagation[4]. À partir de la définition de la divergence, ceci veut dire que le modèle gaussien n'est valide que pour un faisceau avec une largeur à l'origine supérieur à ${\displaystyle 2\lambda /\pi }$.
• La qualité d'un faisceau est calculée par le produit de sa divergence et de sa largeur à l'origine. Ce nombre obtenu sur un faisceau réel est comparé à celui d'un faisceau idéal gaussien de même longueur d'onde. Le rapport de ces deux nombres est noté ${\displaystyle M^{2}}$ et doit tendre vers 1 idéalement.

Le délai longitudinal de la phase de l'onde ou Phase de Gouy du faisceau est :

${\displaystyle \zeta (z)=\arctan \left({\frac {z}{z_{0}}}\right)\ .}$

Le diamètre et la courbure d'un faisceau gaussien en fonction de ${\displaystyle z}$ peuvent aussi être représentés par le paramètre complexe de faisceau ${\displaystyle q(z)}$ donné par :

${\displaystyle q(z)=z+q_{0}=z+iz_{0}\ .}$

L'inverse de cette grandeur complexe contient le rayon de courbure du front d'onde ${\displaystyle R(z)}$ et l'intensité relative sur l'axe, dans sa partie respectivement réelle et imaginaire

${\displaystyle {1 \over q(z)}={1 \over z+iz_{0}}={z \over z^{2}+z_{0}^{2}}-i{z_{0} \over z^{2}+z_{0}^{2}}={1 \over R(z)}-i{\lambda \over \pi w^{2}(z)}}$

Le complexe Z obtenu joue un rôle crucial dans l'analyse des propriétés du faisceau gaussien, spécialement dans celle des cavités résonantes et les matrices de transfert de rayonnement.

La puissance ${\displaystyle P}$ (en watts) passant par un disque de rayon ${\displaystyle r}$ dans un plan transverse à la propagation et à une distance ${\displaystyle z}$ est :

${\displaystyle P(r,z)=P_{0}\left[1-e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]}$ où ${\displaystyle P_{0}={1 \over 2}\pi I_{0}w_{0}^{2}}$ est la puissance totale transmise par le faisceau.

On trouve que :

• Pour un disque de rayon ${\displaystyle r=w(z)}$, la fraction de la puissance transmise est :

${\displaystyle {P(z) \over P_{0}}=1-e^{-2}\approx 0{,}865}$.

• Environ 95 % de la puissance du faisceau passera par un trou de rayon ${\displaystyle r=1,224\ w(z)}$.

L'intensité maximale sur l'axe du faisceau à ${\displaystyle \,z}$ de l'origine est calculée en utilisant la règle de L'Hôpital pour l'intégration de la puissance comprise dans le cercle de rayon ${\displaystyle \,r}$ divisé par la surface sous-tendue par ${\displaystyle \,\pi r^{2}}$ :

${\displaystyle I(0,z)=\lim _{r\to 0}{\frac {P_{0}\left[1-e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]}{\pi r^{2}}}={\frac {P_{0}}{\pi }}\lim _{r\to 0}{\frac {\left[-(-2)(2r)e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]}{w^{2}(z)(2r)}}={2P_{0} \over \pi w^{2}(z)}.}$

L'intensité maximale (sur l'axe du faisceau) est donc le double de l'intensité moyenne (sur tout le faisceau) obtenue par la division de la puissance totale par ${\displaystyle \pi w^{2}(z)}$.

• (en) Bahaa E. A. Saleh et Malvin Carl Teich, Fundamentals of Photonics, 1991, John Wiley & Sons, New York (ISBN 0-471-83965-5), chap. 3 (« Beam Optics »), p. 80–107 pour l'approximation scalaire et chap. 5 (« Electromagnetic Optics »), p. 173 pour le faisceau gaussien vectoriel
• (en) Anthony E. Siegman, Lasers, University Science Books, 1986 (ISBN 0-935702-11-3), chap. 6
• (en) Amon Yariv, Quantum Electronics, 3^e éd., Wiley, 1989 (ISBN 0-471-60997-8)
• (en) L. W. Davis, « Theory of electromagnetic beams », Phys. Rev., vol. 19, 1979, p. 1177-1179

• Onde électromagnétique
• Polynôme d'Hermite
• Paquet d'onde gaussien
• Équation de Helmholtz

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