Classe trace

En s’inspirant de la définition dans le cas de la dimension finie, un opérateur borné A sur un espace de Hilbert séparable est dit de classe trace si dans une certaine base hilbertienne {e_k}_k (et donc dans toutes) de H, la série à termes positifs suivante converge

${\displaystyle \|A\|_{1}={\rm {Tr}}|A|:=\sum _{k}\langle (A^{*}A)^{1/2}\,e_{k},e_{k}\rangle ,}$

où (A* A)^1/2 désigne la racine carrée de l'opérateur positif (en) A* A.

Dans ce cas, la somme

${\displaystyle {\rm {Tr}}A:=\sum _{k}\langle Ae_{k},e_{k}\rangle }$

est absolument convergente et ne dépend pas du choix de la base orthonormée. Ce nombre est appelé trace de A. Quand H est de dimension finie, on retombe sur la trace usuelle.

Par extension, si A est un opérateur positif, on peut définir sa trace, quitte à ce qu’elle soit infinie, comme la série à terme positifs

${\displaystyle \sum _{k}\langle Ae_{k},e_{k}\rangle .}$

• Si A est positif et auto-adjoint, A est de classe trace si et seulement si Tr(A) < ∞. Ainsi, un opérateur autoadjoint est de classe trace si et seulement si ses parties positive et négative sont de classe trace.
• La Trace est une forme linéaire sur l’ensemble des opérateurs de classe trace, i.e.${\displaystyle \operatorname {Tr} (aA+bB)=a\,\operatorname {Tr} (A)+b\,\operatorname {Tr} (B).}$La forme bilinéaire${\displaystyle \langle A,B\rangle =\operatorname {Tr} (A^{*}B)}$définit un produit scalaire sur les opérateurs de classe trace. La norme qui y est associée est appelée la norme de Hilbert-Schmidt. Le complété des opérateurs de classe trace pour cette norme forme l’espace des opérateurs de Hilbert-Schmidt (en). Le point ci-dessous prouve que tous les opérateurs à trace sont de Hilbert-Schmidt. Cependant, tout comme certaines suites de carré sommable ne sont pas sommables, la réciproque est fausse et certains opérateurs de Hilbert-Schmidt n'admettent pas une trace finie.
• Si ${\displaystyle A}$ est borné et ${\displaystyle B}$ est de classe trace, ${\displaystyle AB}$ et ${\displaystyle BA}$ sont aussi de classe trace et[1]${\displaystyle \|AB\|_{1}=\operatorname {Tr} (|AB|)\leq \|A\|\|B\|_{1},\qquad \|BA\|_{1}=\operatorname {Tr} (|BA|)\leq \|A\|\|B\|_{1}.}$De plus et sous les mêmes hypothèses,${\displaystyle \operatorname {Tr} (AB)=\operatorname {Tr} (BA).}$
• Si ${\displaystyle A}$ est de classe trace, on peut définir le déterminant de Fredholm de ${\displaystyle I+A}$ :${\displaystyle {\rm {det}}(I+A):=\prod _{n\geq 1}[1+\lambda _{n}(A)]}$où les ${\displaystyle \{\lambda _{n}(A)\}_{n}}$ sont les valeurs propres de ${\displaystyle A}$. La condition de classe trace nous assure que le produit converge. Il nous garantit aussi que ${\displaystyle (I+A)}$ est inversible si et seulement si ${\displaystyle {\rm {det}}(I+A)\neq 0.}$

• Classe de Schatten (de)
• Opérateur nucléaire (en)
• Théorème de la trace de Grothendieck, extension du théorème de Lidskii