Déterminant de Fredholm

On se place sur ${\displaystyle [0;1]}$ et s'intéresse à l'équation fonctionnelle suivante, d'inconnue ${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle \phi (x)+\int _{0}^{1}K(x,t)\phi (t)\,dt=f(x)\quad (*).}$$

On peut essayer de discrétiser cette équation :

• en l'évaluant sur une famille de points ${\displaystyle (x_{l})_{0\leq l\leq n-1}}$ équirépartis dans l'intervalle ${\displaystyle [0;1]}$ : ${\displaystyle x_{k}={\frac {k}{n}},~1\leq l\leq n-1}$.
• en approchant l'intégrale par une somme de Riemann : ${\displaystyle \int _{0}^{1}k(x_{i},t)\phi (t)\,dt\approx \sum _{j=0}^{n-1}{\frac {1}{n}}k(x_{i},x_{j})\phi (x_{j})}$.

On obtient alors, pour chaque ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, un système linéaire ${\displaystyle (E_{n})}$ d'équations

$${\displaystyle (E_{n}):\left\{{\begin{array}{c@{=}c}\phi (x_{1})+{\frac {1}{n}}\sum _{j=0}^{n-1}k(x_{1},x_{j})\phi (x_{j})=f(x_{1})\\\ldots &\\\phi (x_{i})+{\frac {1}{n}}\sum _{j=0}^{n-1}k(x_{i},x_{j})\phi (x_{j})=f(x_{i})\\\ldots &\\\phi (x_{n})+{\frac {1}{n}}\sum _{j=0}^{n-1}k(x_{n},x_{j})\phi (x_{j})=f(x_{n})\\\end{array}}\right.}$$

où les inconnues sont les ${\displaystyle (\phi (x_{l}))_{0\leq l\leq n-1}}$. Heuristiquement on peut espérer comprendre ${\displaystyle (*)}$ en analysant le comportement de ${\displaystyle (E_{n})}$ dans la limite ${\displaystyle n\to +\infty }$.

Or on montre[3] que le déterminant ${\displaystyle d_{n}}$ du système linéaire homogène associé à ${\displaystyle (E_{n})}$ vaut :

$${\displaystyle {\begin{aligned}d_{n}&={\begin{vmatrix}1+{\frac {1}{n}}k(x_{1},x_{1})&{\frac {1}{n}}k(x_{1},x_{2})&\ldots &{\frac {1}{n}}k(x_{1},x_{n})\\{\frac {1}{n}}k(x_{2},x_{1})&1+{\frac {1}{n}}k(x_{2},x_{2})&\ldots &{\frac {1}{n}}k(x_{i},x_{n})\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\{\frac {1}{n}}k(x_{n},x_{1})&\ldots &\ldots &1+{\frac {1}{n}}k(x_{n},x_{n})\\\end{vmatrix}}\\&=1+{\frac {1}{n}}S_{1}+{\frac {1}{n^{2}}}S_{2}+\ldots +{\frac {1}{n^{n}}}S_{n}\end{aligned}}}$$

où ${\displaystyle S_{m}}$ est la somme des mineurs principaux d'ordre ${\displaystyle m}$ de ${\displaystyle d_{n}}$. Comme de plus

$${\displaystyle {\frac {1}{n^{m}}}S_{m}~{\xrightarrow[{n\to +\infty }]{}}~{\frac {1}{m!}}\int _{[0;1]^{m}}^{}{\begin{vmatrix}k(x_{1},x_{1})&\ldots &k(x_{1},x_{m})\\\vdots &\ddots &\vdots \\k(x_{m},x_{1})&\ldots &k(x_{m},x_{m})\\\end{vmatrix}}\,\mathrm {d} x_{1}\ldots \mathrm {d} x_{m}}$$

on est donc amené à considérer la série "limite des ${\displaystyle d_{n}}$ " :

$${\displaystyle D:=1+\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {1}{k!}}\int _{[0;1]^{k}}{\begin{vmatrix}k(x_{1},x_{1})&\ldots &k(x_{1},x_{m})\\\vdots &\ddots &\vdots \\k(x_{m},x_{1})&\ldots &k(x_{m},x_{m})\\\end{vmatrix}}\,\mathrm {d} x_{1}\ldots \mathrm {d} x_{m}}$$

C'est la définition de Fredholm du déterminant de l'opérateur ${\displaystyle I+K}$. Bien que Fredholm, dans son article de 1903, ne précise pas vraiment comment il en est venu à cette définition, on peut supposer que c'est essentiellement cette heuristique qui l'y a conduit[4].

La série entière ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\,\int _{I^{n}}\det {\begin{pmatrix}k(x_{1},x_{1})&\ldots &k(x_{1},x_{n})\\\vdots &\ddots &\vdots \\k(x_{n},x_{1})&\ldots &k(x_{n},x_{n})\end{pmatrix}}dx_{1}...dx_{n}}$ a un rayon de convergence infini. Cela peut se démontrer en utilisant l'inégalité d'Hadamard (en) pour majorer le déterminant.

Pour tout ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$, on appelle déterminant de Fredholm de l'opérateur ${\displaystyle I+zK}$ la quantité

$${\displaystyle \det(I+zK):=1+\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\,\int _{I^{n}}\det {\begin{pmatrix}k(x_{1},x_{1})&\ldots &k(x_{1},x_{n})\\\vdots &\ddots &\vdots \\k(x_{n},x_{1})&\ldots &k(x_{n},x_{n})\end{pmatrix}}dx_{1}...dx_{n}}$$

La fonction ${\displaystyle z\mapsto \det(I+zK)}$ est alors analytique sur ${\displaystyle \mathbb {C} }$. En particulier, ses zéros sont isolés et de multiplicités finies.

Lien avec les valeurs propres

Soient ${\displaystyle \lambda _{1}(K),\ldots ,\lambda _{n}(K)}$ les valeurs propres de ${\displaystyle K}$ comptées avec multiplicités. On a alors la formule du produit[5] :

$${\displaystyle \det(1+K)=\prod _{i=1}^{n}(1+\lambda _{i}(K)).}$$

Lien avec la trace

Comme ${\displaystyle K}$ et ses puissances sont de rang fini, ce sont des opérateurs à trace.

Soit ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$. Pour ${\displaystyle |z|}$ assez petit, on a[5] :

$${\displaystyle \det(1+zK)=\exp \left(\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}tr(K^{n})z^{n}\right)}$$