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Déterminant de Fredholm

En mathématiques, et plus particulièrement en analyse fonctionnelle, le déterminant de Fredholm est une généralisation de la notion de déterminant à certains opérateurs à noyaux (continus) dans des espaces de Banach. Aux notations et langage près, l'idée a été introduite par Fredholm dans son étude de certaines équations intégrales[1]. Elle a ensuite était généralisée à d'autres opérateurs, notamment aux opérateurs nucléaires (en) [2].

Soit un segment de . Dans la suite, désigne l'espace des fonctions continues sur ou l'espace des fonctions p-intégrables sur .

Soit une fonction continue. On considère l'opérateur de noyau :

Heuristique

On se place sur et s'intéresse à l'équation fonctionnelle suivante, d'inconnue

On peut essayer de discrétiser cette équation :

  • en l'évaluant sur une famille de points équirépartis dans l'intervalle : .
  • en approchant l'intégrale par une somme de Riemann : .

On obtient alors, pour chaque , un système linéaire d'équations

où les inconnues sont les . Heuristiquement on peut espérer comprendre en analysant le comportement de dans la limite .

Or on montre[3] que le déterminant du système linéaire homogène associé à vaut :

est la somme des mineurs principaux d'ordre de . Comme de plus

on est donc amené à considérer la série "limite des " :

C'est la définition de Fredholm du déterminant de l'opérateur . Bien que Fredholm, dans son article de 1903, ne précise pas vraiment comment il en est venu à cette définition, on peut supposer que c'est essentiellement cette heuristique qui l'y a conduit[4].

Déterminant de Fredholm


La série entière a un rayon de convergence infini. Cela peut se démontrer en utilisant l'inégalité d'Hadamard (en) pour majorer le déterminant.

Pour tout , on appelle déterminant de Fredholm de l'opérateur la quantité

La fonction est alors analytique sur . En particulier, ses zéros sont isolés et de multiplicités finies.

Cas des opérateurs de rang fini

Dans cette section, on suppose que est de rang fini.

Lien avec les valeurs propres

Soient les valeurs propres de comptées avec multiplicités. On a alors la formule du produit[5] :

Lien avec la trace

Comme et ses puissances sont de rang fini, ce sont des opérateurs à trace.

Soit . Pour assez petit, on a[5] :

Déterminant et inversibilité

Théorème (Fredholm)[1] Soit . Les conditions suivantes sont équivalentes :

  1. L'opérateur est inversible;
  2. .

De plus, lorsque , on a :

  1. ;
  2. ;

est la multiplicité de comme zéro de .

Remarques :

  • La situation est donc tout à fait analogue à ce qui se passe en dimension finie;
  • Pour tout , l'indice de l'opérateur est donc nul.

Notes et références

  1. Ivar Fredholm, « Sur une classe d’équations fonctionnelles », Acta Mathematica, vol. 27, , p. 365–390 (ISSN 0001-5962 et 1871-2509, DOI 10.1007/BF02421317, lire en ligne, consulté le )
  2. Alexander Grothendieck, « La théorie de Fredholm », Bulletin de la Société mathématique de France, vol. 79, , p. 319–384 (ISSN 0037-9484 et 2102-622X, DOI 10.24033/bsmf.1476, lire en ligne, consulté le )
  3. (en) Francesco Giacomo Tricomi (1897-1978), Integral equations, New York, Dover Publications, , 238 p. (ISBN 0-486-64828-1 et 9780486648286, OCLC 11469824, lire en ligne), p. 66-68
  4. Dieudonné, Jean, 1906-1992., History of functional analysis, North-Holland Pub. Co., (ISBN 0-444-86148-3 et 9780444861481, OCLC 7206750, lire en ligne), p. 99
  5. (en) Israel Gohlberg, Nahum Krupnik et Seymour Goldberg, Traces and determinants of linear operators, Birkhäuser Verlag, (ISBN 3-7643-6177-8 et 9783764361778, OCLC 43607291, lire en ligne), chap. 1, p. 7-10
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