Conjecture d'Oppenheim

Le théorème de Meyer établit que pour n ≥ 5, toute forme quadratique non définie entière Q à n variables représente zéro non trivialement, c'est-à-dire qu'il existe un n-uplet non nul x d'entiers tel que Q(x) = 0. La conjecture d'Oppenheim peut être vue comme un analogue pour les formes réelles Q non multiples d'une forme rationnelle. Elle énonce que les valeurs prises sur les vecteurs entiers par une telle forme Q forment une partie dense de la droite réelle.

Oppenheim et Davenport ont formulé plusieurs versions de la conjecture.

Soit Q une forme quadratique non dégénérée et non définie en n variables. Si n ≥ 3 et si Q n'est pas multiple d'une forme à coefficients rationnels alors, pour tout ε > 0, il existe un vecteur non nul x à composantes entières tel que |Q(x)| < ε.

Openheim l'avait conjecturé en 1929 seulement pour n ≥ 5 ; la version plus forte est due à Davenport, en 1946.

En 1953, Davenport la renforça encore en replaçant |Q(x)| < ε par 0 < |Q(x)| < ε, ce qui fut démontré pour n ≥ 21 par Birch, Davenport et Ridout et par Davenport et Heilbronn dans le cas diagonal pour n ≥ 5.

D'autres résultats partiels sont dus à Oppenheim (pour n ≥ 4, mais seulement si Q représente 0 sur ℤ), Watson, Iwaniec et Baker-Schlickewey. Ces premiers travaux utilisaient la théorie analytique des nombres et la théorie de la réduction des formes quadratiques.

La conjecture a été démontrée en toute généralité en 1987 par Margulis, par des méthodes de théorie ergodique. La géométrie de l'action de certains sous-groupes unipotents du groupe orthogonal sur l'espace homogène des réseaux dans ℝ³ joue un rôle décisif dans cette approche. Il suffit d'établir la conjecture dans le cas n = 3. On attribue communément l'idée de déduire ce cas d'un énoncé sur les actions homogènes de groupes à M. S. Raghunathan, qui remarqua dans les années 1970 que la conjecture pour n = 3 équivaut à la propriété suivante de l'espace des réseaux :

Toute orbite relativement compacte de SO(2, 1) dans SL(3, ℝ)/SL(3, ℤ) est compacte.

Cependant, Margulis remarqua par la suite que cette équivalence apparaît déjà implicitement — bien que dans un langage différent — dans un article de 1955 de John Cassels et Peter Swinnerton-Dyer.

Peu de temps après l'apport décisif de Margulis, la preuve fut simplifiée et généralisée par Dani (en) et Margulis[2]. Des versions qualitatives ont ensuite été démontrées par Eskin-Margulis-Mozes. Armand Borel et Gopal Prasad ont établi des analogues S-arithmétiques[3]. L'étude des propriétés des flots unipotents et quasi-unipotents sur des espaces homogènes reste un domaine actif de recherche, avec des applications à de nouvelles questions dans la théorie de l'approximation diophantienne.

• (en) Harold Davenport, éd. T. D. Browning et préface de R. C. Vaughan, D. R. Heath-Brown et D. E. Freeman, Analytic methods for Diophantine equations and Diophantine inequalities, CUP, coll. « Cambridge Mathematical Library », 2005, 2^e éd. (1^re éd. 1963), 160 p. (ISBN 978-0-521-60583-0), Zbl 1125.11018
• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Oppenheim conjecture » (voir la liste des auteurs).

Théorèmes de Ratner (en)