Gopal Prasad

Les premiers travaux de Prasad portent sur les sous-groupes discrets de groupes semi-simples réels et p-adiques. Il démontre la « rigidité forte (en) » des réseaux dans les groupes réels semi-simples de rang 1 et celle des réseaux dans les groupes p-adiques, voir [1] et [2]. Il aborde ensuite des questions de théorie des groupes et d'arithmétique sur des groupes algébriques semi-simples. Il prouve la propriété « d'approximation forte (en) » pour les groupes semi-simples simplement connexes sur des corps de fonctions globaux [3]. Prasad détermine les extensions centrales topologiques de ces groupes et calcule le « noyau métaplectique » pour les groupes isotropes en collaboration avec MS Raghunathan, voir [11], [12] et [10]. Prasad et Raghunathan obtiennent également des résultats sur le problème de Kneser-Tits, [13]. Plus tard, avec Andrei Rapinchuk, Prasad donne un calcul précis du noyau métaplectique pour tous les groupes semi-simples simplement connexes, voir [14].

En 1987, Prasad trouve une formule pour le volume des quotients S-arithmétiques des groupes semi-simples, [4]. En utilisant cette formule et certaines estimations tirées de la théorie des nombres et de la cohomologie de Galois, Armand Borel et Gopal Prasad prouvent plusieurs théorèmes de finitude sur les groupes arithmétiques, [6]. La formule du volume, avec des considérations arithmétiques et des résultats venant de la théorie de Bruhat-Tits, conduisent à une classification, par Gopal Prasad et Sai-Kee Yeung, des faux plans projectifs (en) (dans la théorie des surfaces complexes projectives lisses) en 28 classes non vides [21] (voir aussi [22] et [23]). Cette classification, associée aux calculs de Donald Cartwright et Tim Steger, conduit à son tour à une liste complète de faux plans projectifs. Cette liste est constituée d'exactement 50 faux plans projectifs à isométrie près (répartis entre les 28 classes). Ce travail a fait l'objet d'un exposé au séminaire Bourbaki.

Prasad travaille sur la théorie des représentations des groupes p-adiques réductifs avec Allen Moy. Les filtrations de sous-groupes parahoriques, appelées « filtrations de Moy-Prasad », sont largement utilisées en théorie des représentations et en analyse harmonique. Moy et Prasad ont utilisé ces filtrations et la théorie de Bruhat-Tits pour prouver l'existence de « K-types minimaux non raffinés », pour définir la notion de « profondeur » d'une représentation admissible irréductible et pour donner une classification des représentations de profondeur zéro, voir [8] et [9]. Les résultats et techniques introduits dans ces deux articles [8] et [9] ont permis tout une série de développements importants dans le domaine.

En collaboration avec Andrei Rapinchuk, Prasad étudie les sous-groupes Zariski-denses des groupes semi-simples et démontre l'existence dans un tel sous-groupe d'éléments semi-simples réguliers avec de nombreuses propriétés souhaitables, [15], [16]. Ces éléments ont été utilisés dans l'étude de questions théoriques en géométrie et en théorie ergodique. Prasad et Rapinchuk introduisent une nouvelle notion de « commensurabilité faible » des sous-groupes arithmétiques et détermine,t des « classes de commensurabilité faible » de groupes arithmétiques dans un groupe semi-simple donné. Ils utilisent leurs résultats sur la commensurabilité faible pour obtenir des résultats sur des espaces arithmétiques localement symétriques commensurables en longueur et isospectraux, voir [17], [18] et [19].

Avec Jiu-Kang Yu, Prasad étudie l'ensemble de points fixes sous l'action d'un groupe fini d'automorphismes d'un groupe p-adique réductif G sur l'immeuble de Bruhat de G, [24]. Dans un autre travail commun, qui a été utilisé dans le programme de Langlands géométrique, Prasad et Yu déterminent tous les schémas en groupes quasi-réductifs sur un anneau de valuation discrète (DVR), [25].

En collaboration avec Brian Conrad et Ofer Gabber, Prasad étudie la structure des groupes pseudo-réductifs, et donne également des preuves des théorèmes de conjugaison pour les groupes algébriques linéaires connexes lisses généraux, annoncés sans preuves détaillées par Armand Borel et Jacques Tits ; leur monographie de recherche [26] contient tout cela. Une deuxième monographie [27] contient une classification complète des groupes pseudo-réductifs, incluant une classification à la Tits ainsi que de nombreux exemples intéressants. La classification des groupes pseudo-réductifs a déjà de nombreuses applications. Il y a eu un séminaire Bourbaki en mars 2010 sur les travaux de Tits, Conrad-Gabber-Prasad sur les groupes pseudo-réductifs.

Prasad développe de nouvelles méthodes pour les descentes non ramifiées et modérément ramifiées dans la théorie de Bruhat-Tits [28], [29]. Le livre [30], écrit récemment avec Tasho Kaletha, contient de nouvelles preuves de plusieurs résultats sur la théorie de Bruhat-Tits.