Coefficient binomial central

Sauf pour le premier d'entre eux, ${\displaystyle {\binom {0}{0}}=1}$, tout coefficient binomial central est un entier pair.

Plusieurs preuves élémentaires existent[1]. La plus simple, utilisant la « formule du pion » (${\displaystyle {\dbinom {m}{n}}={\frac {m}{n}}{\dbinom {m-1}{n-1}}}$), montre que ce coefficient est le double d'un entier « voisin » dans le triangle de Pascal :

${\displaystyle {\dbinom {2n}{n}}=2{\dbinom {2n-1}{n-1}}}$.

Avec le théorème de Wolstenholme, il résulte également de cette égalité[2] que si p est un nombre premier supérieur ou égal à 5, alors ${\displaystyle {\dbinom {2p}{p}}\equiv 2{\pmod {p^{3}}}.}$

On conjecture que ${\displaystyle {{2n} \choose {n}}\equiv 2{\pmod {n^{3}}}}$ constitue une condition nécessaire et suffisante pour que ${\displaystyle n\geqslant 5}$ soit premier, car cette propriété est vraie jusqu'à ${\displaystyle n=10^{9}}$, mais cette conjecture n'est pas prouvée [3].

Le coefficient binomial central d'ordre n est divisible par n + 1, ce qui revient à dire que le nombre de Catalan ${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{n+1}}{\dbinom {2n}{n}}}$ est un entier.

Pour le prouver, le plus simple est — de même que pour les coefficients binomiaux — d'utiliser l'une des nombreuses interprétations combinatoires de C_n[4].

Il existe aussi des preuves algébriques[5]. On peut par exemple remarquer[4] - [6] - [7] que ${\displaystyle C_{n}={\dbinom {2n}{n}}-{\dbinom {2n}{n-1}}}$.

Dans la décomposition en produit de facteurs premiers du coefficient binomial central d'ordre n, on note e la puissance du nombre premier p, c'est-à-dire que e est le plus grand exposant tel que p^e divise ${\displaystyle {\dbinom {2n}{n}}}$. Si ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ désigne la partie entière du réel x, alors, en posant ${\displaystyle k=\lfloor \log _{p}2n\rfloor }$, on établit, en application de la formule de Legendre[8] :

${\displaystyle e=\sum _{i=1}^{k}\left\lfloor {\frac {2n}{p^{i}}}\right\rfloor -2\sum _{i=1}^{k}\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor }$

Par exemple, si ${\displaystyle n=14}$ et ${\displaystyle p=5}$, alors ${\displaystyle k=2}$ et ${\displaystyle e=2}$, de sorte que 5² divise le nombre ${\displaystyle {\dbinom {28}{14}}=40~116~600}$ mais 5³ ne le divise pas.

D'après le théorème de Kummer, on a aussi : ${\displaystyle e={\dfrac {2s_{p}(n)-s_{p}(2n)}{p-1}}}$ où ${\displaystyle s_{p}(n)}$ est la somme des chiffres de n en base p, ce qui est aussi égal au nombre de retenues lorsqu'on effectue l'addition ${\displaystyle n+n}$ en base p. Par exemple, si tous les chiffres de n en base p sont strictement inférieurs à ${\displaystyle p/2}$ ${\displaystyle {\dbinom {2n}{n}}}$ n'est pas multiple de p.

Dans le cas où ${\displaystyle p=2}$, le nombre e est donc le nombre de 1 dans l’écriture binaire de n [9]. Pour tout n > 0, e vaut donc au moins 1 et l'on retrouve ainsi (voir supra) que ${\displaystyle {\binom {2n}{n}}}$ est pair, et on obtient qu'il est même multiple de 4 si n n'est pas une puissance de 2[9].

La décomposition en produit de facteurs premiers de ${\displaystyle {\binom {2n}{n}}}$ possède la particularité de se terminer par la liste des nombres premiers de ${\displaystyle \left]n,2n\right]}$ (liste non vide d'après le postulat de Bertrand), comme le montre l'exemple ${\displaystyle {\binom {20}{10}}=2^{2}.11.13.17.19}$.

On montre en effet [10] à partir de la formule de Legendre ci-dessus qu'un nombre premier p apparait dans la décomposition de ${\displaystyle {\binom {2n}{n}}}$ en produit de facteurs premiers avec l'exposant ${\displaystyle e=1}$ pour p dans ${\displaystyle \left]n,2n\right]}$, et avec l'exposant ${\displaystyle e=0}$ pour ${\displaystyle p>2n}$.

Le produit des nombres premiers de ${\displaystyle \left]n,2n\right]}$ : ${\displaystyle P_{n}={\frac {(2n)\#}{n\#}}}$ où ${\displaystyle n\#}$ désigne la primorielle de n est en particulier un diviseur de ${\displaystyle {\binom {2n}{n}}}$ et les diviseurs premiers de ${\displaystyle {\binom {2n}{n}}/P_{n}}$ sont tous inférieurs ou égaux à n.

${\displaystyle (P_{n})}$ est répertoriée comme suite A261130 de l'OEIS, et ${\displaystyle \left({\binom {2n}{n}}/P_{n}\right)}$ comme suite A263931 de l'OEIS.

En 1850, Tchebychev utilise cette propriété pour obtenir une évaluation de la distribution des nombres premiers[11].

Les exemples vus précédemment montrent que si les nombres premiers supérieurs à n de la décomposition de ${\displaystyle {\binom {2n}{n}}}$ ont un exposant égal à 1, au moins l'un de ceux qui précèdent possède un exposant > 1. Si n n'est pas une puissance de 2, on a vu que ${\displaystyle {\binom {2n}{n}}}$ est multiple de ${\displaystyle 2^{2}}$, mais le phénomène est général [12].

En 1975, Paul Erdős conjecture que, pour ${\displaystyle n\geqslant 5}$, le coefficient binomial central ${\displaystyle {\dbinom {2n}{n}}}$ est toujours divisible par le carré d'un nombre premier, c'est-à-dire qu'il n'est pas quadratfrei. Le résultat est établi pour n grand par András Sárközy dix ans plus tard[13]. Il est totalement démontré par G. Velammal en 1995[14] et indépendamment par Andrew Granville et Olivier Ramaré en 1996[15].

La suite des plus grands exposants dans la décomposition en produit de facteurs premiers de ${\displaystyle {\dbinom {2n}{n}}}$ est répertoriée comme suite A263922 de l'OEIS.

Le coefficient binomial central vérifie la majoration ${\displaystyle {\dbinom {2n}{n}}\leqslant (2n)^{\pi (2n)}}$ où ${\displaystyle \pi (x)}$ est le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux au réel x [10] - [16]:

En effet, en utilisant la majoration ${\displaystyle \lfloor 2y\rfloor -2\lfloor y\rfloor \leqslant 1}$ valable pour tout réel y, la valuation ${\displaystyle e_{p}}$ de l'entier p dans ${\displaystyle {\binom {2n}{n}}}$ vérifie ${\displaystyle e_{p}\leqslant \lfloor \log _{p}2n\rfloor }$ d'après la formule de Legendre. Puisque ${\displaystyle p^{\lfloor \log _{p}2n\rfloor }\leqslant 2n}$

${\displaystyle {\dbinom {2n}{n}}\leqslant \prod _{p\leqslant 2n}p^{\lfloor \log _{p}2n\rfloor }\leqslant \prod _{p\leqslant 2n}2n=(2n)^{\pi (2n)}}$.

Tchebychev utilise cette propriété pour établir la minoration de gauche dans les inégalités suivantes [17]

${\displaystyle \forall x\geqslant 2,{\frac {\ln {2}}{4}}{\frac {x}{\ln {x}}}\leqslant \pi (x)\leqslant 9\ln {2}{\frac {x}{\ln {x}}}}$

En effet, de manière élémentaire : ${\displaystyle 2^{n}\leqslant {\dbinom {2n}{n}}}$ donc ${\displaystyle \pi (2n)\geqslant {\frac {n\ln {2}}{\ln {(2n)}}}}$. Si à ${\displaystyle x\geqslant 2}$ on associe l'entier n tel que ${\displaystyle n\leqslant {\frac {x}{2}}<n+1}$ :

${\displaystyle \pi (x)\geqslant \pi (2n)\geqslant {\frac {n\ln {2}}{\ln {(2n)}}}\geqslant {\frac {n\ln {2}}{\ln {x}}}\geqslant {\frac {(2n+2)\ln {2}}{4\ln {x}}}>{\frac {\ln {2}}{4}}{\frac {x}{\ln {x}}}}$.

Notons ${\displaystyle A_{n}={\dbinom {2n}{n}}}$ et ${\displaystyle G(x)=\sum _{n=0}^{\infty }A_{n}x^{n}}$ la série génératrice associée. À l'aide de la relation de récurrence :

${\displaystyle (n+1)A_{n+1}=2(2n+1)A_{n}}$,

on montre que ${\displaystyle G}$ est solution de l'équation différentielle linéaire : ${\displaystyle (1-4x)G^{\prime }(x)=2G(x)}$ ce qui permet d'obtenir l'expression[18] - [19] (valable pour ${\displaystyle |x|<1/4}$) :

${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }{\dbinom {2n}{n}}x^{n}=G(x)={\frac {1}{\sqrt {1-4x}}}}$.

Elle se déduit facilement de la relation : ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2x)^{2n}}{\binom {2n}{n}}}={\frac {1}{1-x^{2}}}+{\frac {x\arcsin x}{(1-x^{2})^{3/2}}}}$.

Cette relation s'obtient par dérivation de la série génératrice des intégrales de Wallis d'ordre impair[20] : ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {4^{n}}{\binom {2n}{n}}}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}={\frac {\arcsin x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$.

Le coefficient binomial central apparaît de manière inattendue dans des égalités remarquables, ce qui explique l'intérêt qui lui est porté[21].

En 1985, Derrick Lehmer[22] calcule, en fonction de deux suites de polynômes définies par récurrence sur l'entier ${\displaystyle k\geqslant -2}$, les séries de la forme

${\displaystyle S_{k}(x)=\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {n^{k}(2x)^{2n}}{\dbinom {2n}{n}}}}$

Par exemple (voir supra)[23] - [24] : ${\displaystyle S_{-1}(x)={\frac {2x\arcsin x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ donc en divisant par ${\displaystyle 2x}$ et en intégrant[25] - [26] : ${\displaystyle S_{-2}(x)=2(\arcsin x)^{2}}$.

En 1730, dans son étude du problème de Bâle, Stirling avait utilisé l'accélération de convergence ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=3\,S_{-2}(1/2)=3\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {1}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}}$ pour déterminer des valeurs approchées de la première somme[26] (il ne disposait pas de l'égalité ci-dessus, dont on déduit que ${\displaystyle S_{-2}(1/2)=\pi ^{2}/18}$).

L'intérêt pour les sommes avec coefficient binomial central s'est accru après que Roger Apéry a utilisé l'égalité ${\displaystyle \zeta (3)=-{\frac {5}{2}}S_{-3}(\mathrm {i} /2)}$ où ${\displaystyle \zeta }$ désigne la fonction zêta de Riemann. Dans un théorème qui porte son nom, il en déduit que ${\displaystyle \zeta (3)}$ est irrationnel[27].

Lehmer montre que ${\displaystyle S_{k}(1/{\sqrt {2}})=\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {n^{k}2^{n}}{\dbinom {2n}{n}}}=u_{k}\pi +v_{k}}$ où ${\displaystyle 2u_{k}}$ et ${\displaystyle v_{k}}$ sont des entiers, et remarque que ${\displaystyle v_{k}/u_{k}}$ est « une bonne approximation de ${\displaystyle \pi }$ »[22] . La suite ${\displaystyle (2u_{k-1})}$ est la suite A014307 de l'OEIS et ${\displaystyle (v_{k})}$ la suite A180875 de l'OEIS ; le fait que ${\displaystyle \lim v_{k}/u_{k}=\pi }$ a été démontré en 2011 [28] - [29].

Lehmer s'intéresse plus généralement aux séries du type ${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}{\binom {2n}{n}}{\text{ ou }}\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {a_{n}}{\dbinom {2n}{n}}}}$, où les ${\displaystyle a_{n}}$ sont « des fonctions très simples de ${\displaystyle n}$ »[30]. Par exemple, en divisant par ${\displaystyle x}$ l'égalité ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }{\binom {2n}{n}}x^{n}={\frac {1}{\sqrt {1-4x}}}-1}$ (voir supra) et en intégrant, il obtient[23] - [24] :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }{\binom {2n}{n}}{\frac {x^{n}}{n}}=2\ln {\frac {1-{\sqrt {1-4x}}}{2x}}}$.

En remplaçant ${\displaystyle x}$ par ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ dans la double expression ci-dessus de ${\displaystyle S_{-1}(x)}$ et en dérivant, on obtient :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{n}(2x)^{n-1}}{n{\binom {2n}{n}}}}={\frac {\arcsin {\sqrt {x}}}{{\sqrt {x}}{\sqrt {1-x}}}}}$,

qui donne, pour ${\displaystyle x=1/4}$ [31]:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {1}{n{\binom {2n}{n}}}}=\pi {\frac {\sqrt {3}}{9}}}$

On trouve dans la littérature plusieurs expressions du coefficient binomial central à l'aide d'intégrales[32]. Ainsi par exemple

${\displaystyle {\dbinom {2n}{n}}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi /2}(2\sin x)^{2n}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{4}{\sqrt {\frac {x}{4-x}}}x^{n-1}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{+\infty }{\frac {1}{(1/4+x^{2})^{n+1}}}\,\mathrm {d} x}$

La première expression est liée à l'intégrale de Wallis d'ordre pair : ${\displaystyle W_{2n}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{2n}x{\text{ d}}x={\frac {\pi }{2}}{\frac {\binom {2n}{n}}{4^{n}}}}$.

Le coefficient binomial central s'obtient comme résultat des sommes suivantes[33] :

• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}={\binom {2n}{n}}}$
• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{2n}(-1)^{n-k}{\binom {2n}{k}}^{2}={\binom {2n}{n}}}$
• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{\binom {2n+1}{k}}={\binom {2n}{n}}}$

La première relation — cas particulier de l'identité de Vandermonde — s'obtient par exemple en exprimant le coefficient de degré n de deux façons dans ${\displaystyle (1+X)^{2n}=(1+X)^{n}(1+X)^{n}}$.

La deuxième relation s'obtient en exprimant le coefficient de degré 2n de deux façons dans l'identité ${\displaystyle (1-X^{2})^{2n}=(1-X)^{2n}(1+X)^{2n}}$.

La troisième est le cas particulier ${\displaystyle m=2n+1}$ de l'égalité ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {m}{k}}=(-1)^{n}{\binom {m-1}{n}}}$, que l'on peut démontrer par récurrence sur ${\displaystyle n}$ (à l'aide de la formule de Pascal), mais aussi combinatoirement[34].

Connaissant un équivalent de la suite des intégrales de Wallis et leur lien avec les coefficients binomiaux centraux (voir supra), on obtient : ${\displaystyle {\dbinom {2n}{n}}\sim {\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}}$.

Cet équivalent permet d'établir la formule de Stirling à partir de celle d'Abraham de Moivre.

Inversement, on peut utiliser la formule de Stirling pour produire un équivalent du coefficient binomial central[35].

A partir du développement asymptotique de ${\displaystyle n}$!, on obtient ${\displaystyle {\binom {2n}{n}}={\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}\left(1-{\frac {1}{8n}}+o\left({\frac {1}{n}}\right)\right)}$.

Et l'encadrement ${\displaystyle {\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}\left(1-{\frac {1}{8n}}\right)\leqslant {\binom {2n}{n}}\leqslant {\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}}$ est même valable pour tout ${\displaystyle n\geqslant 1}$.

• (en) Thomas Koshy, Catalan Numbers with Applications, Oxford University Press, 2009, 422 p. (ISBN 019533454X, lire en ligne), chap. 2 (« The Central Binomial Coefficient »). 
• (en) Derrick Lehmer, « Interesting Series Involving the Central Binomial Coefficient », The American Mathematical Monthly, vol. 92, n^o 7,‎ août-septembre 1985, p. 447-469 (DOI 10.2307/2322496). 
• Jean-Marie De Koninck et Armel Mercier, Introduction à la théorie des nombres, Modulo Éditeur, 1994, 254 p. (ISBN 2-89113-500-8), « Les inégalités de Tchebycheff ». 

• (en) « Central binomial coefficient », sur PlanetMath