Calcul numérique d'une intégrale

On appelle formule de quadrature une expression linéaire dont l’évaluation fournit une valeur approchée de l’intégrale sur un morceau typique (l’intervalle [0 ; 1] par exemple). Une transformation affine permet de transposer la formule sur un morceau particulier. La formule de quadrature fait intervenir des valeurs pondérées de la fonction (et parfois également celles de sa dérivée) en certains nœuds : les coefficients de pondération et les nœuds dépendent de la méthode employée. Ces formules de quadrature sont en effet obtenues à l’aide de la substitution de la fonction par une approximation, c’est-à-dire par une fonction proche dont l’intégrale peut être déterminée algébriquement.

Une indication grossière de l’efficacité d’une formule de quadrature est son ordre qui, par définition, est la plus grande valeur entière m pour laquelle la valeur approchée de l’intégrale est exacte pour tout polynôme de degré inférieur ou égal à m.

Cependant, la précision du résultat obtenu dépend à la fois de l’ordre de la formule de quadrature, de la taille des morceaux et de la régularité de la fonction. D’autre part, il est généralement inutile d’appliquer une formule de quadrature d’ordre m si la fonction n’est pas continûment dérivable jusqu’à l’ordre m + 1.

Considérons une intégrale définie ${\displaystyle I=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}$ dont on cherche à estimer la valeur numérique.

Supposons que a et b soient finis : dans le cas contraire, il est conseillé d’effectuer un changement de variable permettant de satisfaire cette hypothèse[1].

Supposons également que la fonction f à intégrer comporte une singularité à une des bornes de l'intervalle . Par exemple, la fonction f (x) = x^{– α} avec 0 < α < 1 est intégrable sur [0 ; 1] et I = 1 / (1 – α). Bien que f soit parfaitement régulière sur ]0 ; 1], la singularité en 0 et l’impossibilité de la prolonger par une fonction continue causent de grandes difficultés à toutes les méthodes d’intégration numérique, en particulier celles qui utilisent explicitement f (0)[2]. Dans une telle situation, il convient de soustraire à f une fonction g dont l’intégrale est connue et qui soit telle que f – g ne soit plus singulière, puis d’intégrer numériquement cette différence.

Considérons une formule de quadrature associée à [0 ; 1] du type ${\displaystyle I_{[0,1]}(g)=\sum _{i=0}^{p}\alpha _{i}\,g(x_{i})}$ où les pondérations α_i et les nœuds x_i sont donnés.

Partant d’une décomposition régulière de [a , b] en n sous-intervalles de longueur h = (b – a)/n, soit les intervalles J_k = [a + k h , a + (k+1) h] pour 0 ≤ k < n, l’application de la formule de quadrature précédente à chaque J_k s’effectue à l’aide d’une transformation affine, permettant ainsi d’obtenir une approximation I_n(f) de i qui s’écrit :

${\displaystyle I_{n}(f)=h\sum _{k=0}^{n-1}\sum _{i=0}^{p}\alpha _{i}\,f(a+h(k+x_{i})).}$

Cette relation est la formule composite associée à une formule de quadrature générale. L’ordre du calcul des termes de cette double somme et certains arrangements permettent le plus souvent de réduire le nombre d’opérations (évaluations de f (.) et multiplications par α_i). Cette question est développée plus loin pour quelques formules de quadrature particulières.

Si la formule de quadrature comporte des termes du type ${\displaystyle \sum _{j=0}^{p'}\beta _{j}\,g'(y_{j})}$ faisant intervenir la dérivée ou du type ${\displaystyle \sum _{j=0}^{p''}\gamma _{j}\,g''(z_{j})}$ impliquant la dérivée seconde, la transformation affine fait apparaître des facteurs h ou h², ceci conformément à la relation suivante :

${\displaystyle I_{n}(f)=h\sum _{k=0}^{n-1}\left(\sum _{i=0}^{p}\alpha _{i}\,f(a+h(k+x_{i}))+h\sum _{j=0}^{p'}\beta _{j}\,f'(a+h(k+y_{j}))+h^{2}\sum _{j=0}^{p''}\gamma _{j}\,f''(a+h(k+z_{j}))\right).}$

Si m est l’ordre de la formule de quadrature et si f (x) est de classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{I}^{m+1}([a,\,b])}$ (soit l’espace des fonctions m + 1 fois dérivables dont la dérivée m + 1 est continue par morceaux), notons ${\displaystyle M=\sup _{x\in [a,b]}|f^{(m+1)}(x)|}$.

On suppose que la formule de quadrature s'écrit ${\displaystyle I_{n}(f)=h\sum _{k=0}^{n-1}\sum _{i=0}^{p}\alpha _{i}\,f(a+hk+hx_{i})}$.

Dans ce cas, il existe une constante C indépendante de f et de [a , b] telle que

${\displaystyle |I-I_{n}(f)|\leq CM(b-a)h^{m+1}}$

Preuve

Pour tout 0 ≤ k < n la substitution de f (x) restreinte à J'_k = [a + kh , a + (k+1)h] par son développement de Taylor d’ordre m autour de la borne inférieure x_0,k = a + k h implique que le remplacement de f (x) par le reste R_m,k(x) n'affecte pas la valeur de l’écart : l’ordre m assure en effet l’exactitude de la formule de quadrature pour chaque terme polynomial.

Par ailleurs, l’inégalité de Taylor-Lagrange appliquée à chaque J_k implique :

${\displaystyle |R_{m,k}(x)|\leq {\frac {M|x-x_{0,k}|^{m+1}}{(m+1)!}}}$ pour tout ${\displaystyle x\in J_{k}.}$

Il en découle

${\displaystyle |I-I_{n}(f)|=\left|\sum _{k=0}^{n-1}\int _{J_{k}}R_{m,k}(x)\,dx-h\sum _{k=0}^{n-1}\sum _{i=0}^{p}\alpha _{i}\,R_{m,k}(x_{0,k}+hx_{i})\right|}$ ${\displaystyle \leq \sum _{k=0}^{n-1}\left|\int _{J_{k}}R_{m,k}(x)\,dx\right|+\left|h\sum _{i=0}^{p}\alpha _{i}\,R_{m,k}(x_{0,k}+hx_{i})\right|\leq \sum _{k=0}^{n-1}{\frac {Mh^{m+2}}{(m+1)!}}\,\left[{\frac {1}{(m+2)}}+\sum _{i=0}^{p}|\alpha _{i}|\right].}$

En choisissant ${\displaystyle \,C={\frac {1}{(m+2)!}}\,[1+(m+2)\sum _{i=0}^{p}|\alpha _{i}|],}$ il vient

${\displaystyle |I-I_{n}(f)|\leq CM(b-a)h^{m+1}.}$

Remarque : ce développement n’a pas pour objectif de déterminer la constante C la plus faible.

Ce résultat conforte les recommandations suivantes :

• Si f ^(m) (x) n’est pas continue sur [a, b], une formule de quadrature d’ordre m (ou plus) présente peu d’intérêt.
• Si f (x) est régulière par morceaux, il vaut la peine de décomposer [a, b] en sous-intervalles correspondant aux morceaux de régularité, puis d’appliquer une formule composite de quadrature sur chaque morceau.
• La même approche peut se révéler opportune pour intégrer une fonction régulière, mais dont la variabilité est très dissemblable d’une zone à l’autre. L’intérêt se manifeste toutefois principalement sur le volume des calculs.

Ces méthodes utilisent l’interpolation des fonctions à intégrer par des polynômes dont la primitive est connue.

La surface en rouge représente la valeur de l’intégrale estimée par la méthode du point milieu.

C’est la méthode la plus simple qui consiste à interpoler la fonction f à intégrer par une fonction constante (polynôme de degré 0).

Si ξ est le point d’interpolation, la formule est la suivante :

${\displaystyle I(f)=(b-a)f(\xi )\,}$

Le choix de ξ influence l’erreur E(f) = I – I(f) :

• Si ξ = a ou ξ = b, l’erreur est donnée par ${\displaystyle E(f)={\frac {(b-a)^{2}}{2}}f'(\eta ),\quad \eta \in [a,b].}$C’est la méthode du rectangle qui est d’ordre 0.
• Si ξ = (a + b)/2, l’erreur est donnée par${\displaystyle E(f)={\frac {(b-a)^{3}}{24}}f''(\eta ),\quad \eta \in [a,b].}$Il s’agit de la méthode du point milieu qui est d’ordre 1.

Ainsi, le choix du point milieu améliore l’ordre de la méthode : celle du rectangle est exacte (c’est-à-dire E(f) = 0) pour les fonctions constantes alors que celle du point milieu est exacte pour les polynômes de degré 1. Ceci s’explique par le fait que l’écart d’intégration de la méthode du point milieu donne lieu à deux erreurs d’évaluation, de valeurs absolues égales et de signes opposés.

La surface en rouge représente la valeur de l'intégrale estimée par la méthode des trapèzes.

En interpolant f par un polynôme de degré 1, les deux points d'interpolation (a, f (a)) et (b, f (b)) suffisent à tracer un segment dont l’intégrale correspond à l’aire d’un trapèze, justifiant le nom de méthode des trapèzes qui est d’ordre 1 :

${\displaystyle I(f)=(b-a)\,{\frac {f(a)+f(b)}{2}}}$

L’erreur est donnée par

${\displaystyle E(f)=-{\frac {(b-a)^{3}}{12}}f''(\eta ),\quad \eta \in [a,b]}$

Conformément aux expressions de l’erreur, la méthode des trapèzes est souvent moins performante que celle du point milieu.

La surface en rouge représente la valeur de l'intégrale estimée par la méthode de Simpson.

En interpolant f par un polynôme de degré 2 (3 degrés de liberté), 3 points (ou conditions) sont nécessaires pour le caractériser : les valeurs aux extrémités a, b, et celle choisie en leur milieu m = (a + b) / 2. La méthode de Simpson est basée sur un polynôme de degré 2 (intégrale d’une parabole), tout en restant exacte pour des polynômes de degré 3 ; elle est donc d’ordre 3 :

${\displaystyle I(f)={\frac {(b-a)}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right]}$

L’erreur globale est donnée par

${\displaystyle E(f)=-{\frac {(b-a)^{5}}{2880}}f^{(4)}(\eta ),\quad \eta \in [a,b]}$

Remarque : comme la méthode du point milieu qui caractérise un polynôme de degré 0 et qui reste exacte pour tout polynôme de degré 1, la méthode de Simpson caractérise un polynôme de degré 2 et reste exacte pour tout polynôme de degré 3. Il s’agit d’une sorte d’anomalie où se produisent des compensations bénéfiques à l’ordre de la méthode.

La fonction f peut être interpolée à l’aide de son évaluation en m points équidistants (comprenant les deux extrémités si m > 1, méthode du point milieu si m = 1) par un polynôme de degré m – 1 issu d’une base de polynômes de Lagrange et dont l’intégrale est fournie par les formules de Newton-Cotes. Ce procédé permet ainsi une généralisation des résultats précédents. Avec m points, il en découle une méthode

• d’ordre m si m est impair (« anomalie »),
• d’ordre m – 1 si m est pair.

On notera ici NC-m la méthode basée sur m points :

• NC-1 est la méthode du point milieu
• NC-2 est la formule du trapèze
• NC-3 est la formule de Simpson

Pour des questions d’instabilité numérique provenant en particulier du phénomène de Runge, il est cependant préférable de limiter le degré m du polynôme d'interpolation, quitte à subdiviser l'intervalle en sous-intervalles.

Il s’agit d’une généralisation des formules NC-m dans lesquelles interviennent non seulement la fonction évaluée en m points équidistants, mais également la dérivée de la fonction évaluée en m' points équidistants ; malgré l’abus de langage, on notera ici NC-m-m' une telle formule.

On se limitera ici à m' = 2 correspondant aux deux extrémités a et b.

Peu connues (et donc rarement présentées dans les cours), ces méthodes permettent de gagner deux ordres de convergence par rapport à la méthode correspondante sans la dérivée, ceci en nécessitant très peu de calculs supplémentaires : en effet, les coefficients de f ' (a) et de f ' (b) sont opposés et ainsi, dans la formule composite (dont il est question ci-dessous), les dérivées aux extrémités de deux intervalles adjacent se simplifient.

Si x_i désigne les points d’évaluation de f (i entre 0 et m – 1) :

• Formule NC-1-2 : basée sur un polynôme de degré 2, elle est d’ordre 3 :

${\displaystyle I(f)={\frac {(b-a)}{24}}\left[24f\left({\frac {b+a}{2}}\right)+(b-a)(f'(b)-f'(a))\right]}$

• Formule NC-2-2 : basée sur un polynôme de degré 3, elle est d’ordre 3 :

${\displaystyle I(f)={\frac {(b-a)}{12}}\left[6(f(a)+f(b))+(b-a)(f'(a)-f'(b))\right]}$

• Formule NC-3-2 : basée sur un polynôme de degré 4, elle est d’ordre 5 :

${\displaystyle I(f)={\frac {(b-a)}{60}}\left[14(f(a)+f(b))+32f(x_{1})+(b-a)(f'(a)-f'(b))\right]}$

• Formule NC-4-2 : basée sur un polynôme de degré 5, elle est d’ordre 5 :

${\displaystyle I(f)={\frac {(b-a)}{240}}\left[39(f(a)+f(b))+81(f(x_{1})+f(x_{2}))+(b-a)(f'(a)-f'(b))\right]}$

• Formule NC-5-2 : basée sur un polynôme de degré 6, elle est d’ordre 7 :

${\displaystyle I(f)={\frac {(b-a)}{3780}}\left[434(f(a)+f(b))+1024(f(x_{1})+f(x_{3}))+864f(x_{2})+(b-a)(f'(a)-f'(b))\right]}$

Concernant l’erreur globale d’une formule de quadrature linéaire d’ordre p, elle est donnée par

${\displaystyle E(f)=C(b-a)^{p+2}f^{(p+1)}(\eta ),\quad \eta \in [a,b]}$

Ce procédé permet ainsi une généralisation des formules de Newton-Cotes. Avec m points pour la fonction et 2 points pour sa dérivée, il en découle une méthode

• d’ordre m + 2 si m est impair (anomalie),
• d’ordre m + 1 si m est pair.

La notation indique que la dérivée seconde intervient également en m" points équidistants. Mentionnons uniquement une formule particulièrement remarquable qui présente une double anomalie :

Formule NC-4-2-2, basée sur un polynôme de degré 7, elle est d’ordre 9 :

${\displaystyle I(f)={\frac {(b-a)}{6720}}[1173(f(a)+f(b))+2187(f(x_{1})+f(x_{2}))+78(b-a)(f'(a)-f'(b))+2(b-a)^{2}(f''(a)+f''(b))]}$

Les coefficients de f '(a) et de f '(b) sont opposés, ce qui permet des simplifications dans la formule composite. Par contre, ce n’est pas le cas pour f '' .

Remarques :

• Une méthode NC-1-1-...-1 n’est autre que l’intégration d’un développement de Taylor.
• Dans une formule NC-m-m'-m'', m doit être non nul afin de tenir compte d’une translation sur f '.
• Tout triplet d’entiers (m, m', m'') ne conduit pas nécessairement à une formule de quadrature. C’est le cas pour les triplets du type (2p, 2q +1, r), ainsi que quelques cas du type (2p + 1, 2q, 2r +1) [3].
• Les triplets du type (2p +1, 2q, 2 r), (2p +1, 2q + 1, 2r + 1) et (2p, 2q, 2r +1) présentent une anomalie dans le sens où la formule est basée sur un polynôme de degré m + m' + m'' – 1 (nombre de degrés de liberté) alors qu’elle est encore vraie pour un polynôme de degré m + m' + m''.

Pour chacune des méthodes précédentes, le terme d’erreur dépend d’une puissance de b – a. Cette imprécision étant le plus souvent trop importante, l’erreur peut être réduite en découpant simplement l’intervalle [a, b] en n sous-intervalles (supposés de longueurs égales), ceci dans le but de déterminer une valeur approchée de l’intégrale sur chacun d’eux, en application de la méthode choisie. L’intégrale sur [a, b] est estimée par la somme des valeurs ainsi calculées.

On appelle formule composite l’expression caractérisant cette estimation.

Notons :

• k l’indice des n sous-intervalles ;
• h = (b – a) / n la longueur de chacun d’eux ;
• x_k = a + kh la borne inférieure ;
• m_k = a + (k + 1/2)h le point milieu,

ceci pour k entre 0 et n–1. Les formules composites sont les suivantes :

• Méthode du point milieu d’ordre 1 :

${\displaystyle I(f)={\frac {b-a}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f(m_{k})}$

• Méthode des trapèzes d’ordre 1 :

${\displaystyle I(f)={\frac {b-a}{n}}\left({f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{n-1}f(a+kh)\right)}$

• Méthode de Simpson d’ordre 3 :

${\displaystyle I(f)={\frac {h}{6}}\left(f(a)+f(b)+2\sum _{k=1}^{n-1}f(x_{k})+4\sum _{k=0}^{n-1}f(m_{k})\right)}$

Pour les formules de quadrature faisant intervenir des dérivées, voici deux exemples, les autres cas se déduisant par analogie :

• NC-3-2 d’ordre 5 :

${\displaystyle I(f)={\frac {h}{60}}\left(14(f(a)+f(b))+h(f'(a)-f'(b))+28\sum _{k=1}^{n-1}f(x_{k})+32\sum _{k=0}^{n-1}f(m_{k})\right)}$

• NC-4-2-2 d’ordre 9 :

${\displaystyle I(f)={\frac {h}{6720}}\left(1173(f(a)+f(b))+78h(f'(a)-f'(b))+2h^{2}(f''(a)+f''(b))\right.}$

${\displaystyle \left.+2346\sum _{k=1}^{n-1}f(x_{k})+2187\sum _{k=0}^{n-1}(f(x_{k,1})+f(x_{k,2}))+4h^{2}\sum _{k=1}^{n-1}f''(x_{k})\right)}$

(Ici x_k,i= a + kh + iΔ où Δ = h / (m–1), m = 4 étant le nombre de points d’un sous-intervalle)

Concernant l’erreur finale d’une formule de quadrature linéaire d’ordre p, elle est donnée par la relation

${\displaystyle E_{h}(f)=Ch^{p+1}(b-a)f^{(p+1)}(\eta ),\quad \eta \in [a,b]}$

S’agissant de choisir une méthode d’intégration numérique, cette méthode ne doit pas être négligée, en particulier lorsque la fonction est régulière. Après n itérations, elle conduit à une méthode d’ordre de 2^{2n + 1} avec une erreur en O(h^{2n + 2}) pour des fonctions de classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{I}^{2n+2}}$, ceci avec une grande économie du nombre d’évaluations de la fonction (précisément 2ⁿ + 1 évaluations).

Pour intégrer une fonction f sur un intervalle [a , b], la méthode de Monte-Carlo est ici mentionnée à titre « presque anecdotique » : sa performance reste en effet très limitée et son coût de traitement élevé à cause du grand nombre d’évaluations de f qui sont nécessaires pour espérer obtenir un résultat significatif.

L’estimation de l’intégrale i de f est fournie par I_q(f) = (b – a) M_q(f) où M_q(f) est la moyenne arithmétique des f (u_i), les u_i étant q tirages aléatoires indépendants et distribués uniformément sur [a, b].

Cette méthode est d’ordre 0 puisqu’elle donne un résultat exact pour toute fonction constante (même avec un unique tirage).

Cependant, ne s’agissant pas d’une formule de quadrature, l’erreur ne peut pas être majorée avec certitude par une quantité décroissante avec le nombre de tirages. En fait, à chaque groupe de q tirages correspond une estimation particulière de l’intégrale, c'est-à-dire une réalisation d’une variable aléatoire I_q(f) dont la distribution dépend de f, de [a, b] et de q. On peut alors assurer que son espérance est égale à l’intégrale de f et préciser une borne de l’écart type de l’erreur.

Les résultats suivants permettent de caractériser la distribution de l’erreur et son écart type :

• Lorsque q augmente, l’erreur E_q(f) = I – I_q(f) s’amenuise statistiquement. Plus précisément :

Soit σ l’écart type d’un tirage qui est défini par la relation

${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f^{2}(x)\,\mathrm {d} x-\left({\frac {I}{b-a}}\right)^{2}.}$

Alors la distribution de ${\textstyle {\frac {\sqrt {q}}{(b-a)\sigma }}\,E_{q}(f)}$ converge vers celle de la loi normale centrée réduite, soit ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,\,1)}$. En d’autres termes, E_q(f) est essentiellement distribué comme une loi normale ${\textstyle {\mathcal {N}}\left(0,\,{\frac {(b-a)^{2}}{q}}\sigma ^{2}\right).}$

• Si f est une fonction bornée quelconque (la borne est notée ${\displaystyle \|f\|_{\infty }}$), alors ${\displaystyle \sigma \leq \|f\|_{\infty }}$ et ainsi

${\displaystyle \sigma (E_{q}(f))\leq {\frac {(b-a)}{\sqrt {q}}}\,\|f\|_{\infty }}$.

• Si f est de classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}([a,\,b])}$ (dérivable et à dérivée continue, en particulier bornée[4]), alors ${\textstyle \sigma \leq {\frac {b-a}{\sqrt {3}}}\|f'\|_{\infty }}$ et ainsi

${\displaystyle \sigma (E_{q}(f))\leq {\frac {(b-a)^{2}}{\sqrt {3q}}}\,\|f'\|_{\infty }.}$

• Si f est de classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}([a,\,b])}$, que [a , b] est décomposé en n intervalles de longueur h avec nh = b–a, que le nombre total q de tirages est réparti à parts égales dans chaque intervalle, alors

${\displaystyle \sigma (E_{q}(f))\leq (b-a)\,{\frac {h}{\sqrt {3q}}}\,\|f'\|_{\infty }.}$

Ce dernier résultat justifie le comportement relativement médiocre de la méthode de Monte-Carlo. Supposons en effet que le nombre q de tirages soit imposé (limitation de l’effort de traitement). Dans ce cas et afin de réduire ${\displaystyle \sigma (E_{q}(f))}$, il convient de choisir le plus petit h possible, soit un tirage par intervalle (n = q) pour obtenir

${\displaystyle \sigma (E_{q}(f))\leq {\sqrt {\frac {(b-a)}{3}}}h^{3/2}\,\|f'\|_{\infty }.}$

La méthode du point milieu est plus efficace si la fonction est dans ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}([a,\,b])}$.

Le tableau suivant résume les performances théoriques de chaque méthode :

Signification des titres des colonnes :

• Degré du polynôme : degré des polynômes sur lesquels se base la formule.
• Nombre de points : sur chacun desquels la fonction est évaluée.
• Degré d’exactitude : degré maximal des polynômes pour lesquels la formule est exacte (c’est l’ordre de la méthode).
• Degré d’erreur globale : la puissance du facteur b – a dans l’erreur pour une application globale de la formule sur l’intervalle.
• Degré d’erreur finale : la puissance du facteur h dans la formule composite.

Performances comparatives de quelques méthodes d’intégration : résultats tirés d’un exemple.

Afin d’illustrer par un exemple les résultats numériques obtenus avec les diverses méthodes, considérons le cas particulier de la fonction f (x) = x sin(x²) et son intégrale sur l’intervalle ${\displaystyle [0,(\pi )^{\frac {1}{2}}]}$. Puisque ${\displaystyle F(x)=-{\frac {1}{2}}\,\cos(x^{2})}$ est une primitive de f (x), il est facile de déterminer la valeur exacte de l’intégrale qui vaut I = 1.

En application des formules composites des diverses méthodes, le graphique ci-contre présente le nombre de chiffres significatifs exacts (soit ${\displaystyle -\log _{10}\left(\left|{\frac {E(f)}{I}}\right|\right)}$) obtenus en fonction du nombre n de sous-intervalles de la décomposition.

Remarques :

• Le comportement de la fonction choisie étant bien régulier, les diverses courbes croissent très uniformément avec le nombre de sous-intervalles (hormis celles issues de la méthode de Monte-Carlo). Cette apparence est trompeuse : avec une fonction plus chaotique, les courbes seraient beaucoup plus erratiques.
• Pour la méthode de Monte-Carlo, le nombre q indiqué entre parenthèses comme suffixe de la légende (MC (q)) correspond au nombre de tirages réalisés sur chaque sous-intervalle.
• Dans les calculs, la méthode de Romberg n’a pas été traitée dans le cadre où elle présente ses meilleures performances théoriques. Afin de permettre une comparaison avec les autres approches, elle a en effet été appliquée sur chacun des n sous-intervalles utilisés par les autres méthodes[5]. Toutefois, il s’avère que, dans le cas particulier de cet exemple, les deux approches conduisent à des résultats semblables.

Dans le cas du calcul d'une intégrale de la forme ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\omega (x)\,\mathrm {d} x}$, où ω(x) est vue comme une fonction poids déterminée sur [a , b] (les bornes peuvent être infinies), les méthodes de quadrature de Gauss permettent de calculer efficacement cette intégrale en utilisant les propriétés des polynômes orthogonaux pour ω(x).

• Méthode de Laplace pour les intégrales du type ${\displaystyle \int _{a}^{b}\!e^{Mf(x)}\,{\mbox{d}}x\,}$;
• Méthode du point col pour les intégrales du type ${\displaystyle I(\lambda )=\int _{\mathcal {C}}f(z)e^{\lambda g(z)}\,{\mbox{d}}z\,}$.

On peut adapter le principe des méthodes de calcul numérique d'intégrale aux cas où l'intervalle d'intégration n'est pas borné. On peut appliquer des méthodes de quadrature adaptées, comme la méthode de quadrature de Gauss-Hermite pour une intégrale sur la droite réelle ou de Gauss-Laguerre sur la demi-droite réelle positive[6]. On peut aussi envisager des méthodes de Monte-Carlo, ou une transformation qui permet de revenir à un intervalle fermé, par exemple :

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{-1}^{+1}f\left({\frac {t}{1-t^{2}}}\right){\frac {1+t^{2}}{\left(1-t^{2}\right)^{2}}}\,\mathrm {d} t,}$$

ou pour le cas semi-infini

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x&=\int _{0}^{1}f\left(a+{\frac {t}{1-t}}\right){\frac {\mathrm {d} t}{(1-t)^{2}}},\\\int _{-\infty }^{a}f(x)\,\mathrm {d} x&=\int _{0}^{1}f\left(a-{\frac {1-t}{t}}\right){\frac {\mathrm {d} t}{t^{2}}},\end{aligned}}.}$$

En se plaçant dans le cadre général d'une méthode d'intégration numérique, l'erreur commise s'exprime sous la forme :

${\displaystyle E(f)=\int _{a}^{b}f(t)w(t)\,\mathrm {d} t-\sum _{i=1}^{n}\omega _{i}f(\xi _{i}).}$

L'erreur peut être calculée par l'intégrale d'une fonction liée à l'erreur, appelée noyau de Peano :

Théorème — On suppose que la méthode d'intégration est d'ordre n. Si ${\displaystyle f\in C^{n+1}([a,b])}$, alors

${\displaystyle E(f)={\frac {1}{n!}}\int _{a}^{b}K_{n}(t)f^{(n+1)}(t)\,\mathrm {d} t,}$

où la fonction K_n est une fonction définie sur [a , b] par

${\displaystyle K_{n}(t)=E\left(x\mapsto ((x-t)_{+})^{n}\right),}$

avec ${\displaystyle (x-t)_{+}=\max(x-t,0)}$ la partie positive. Cette fonction est appelée noyau de Peano lié à la méthode.

L'intégrale est une forme linéaire en la fonction f. Le noyau de Peano permet de contrôler l'erreur, notamment par les deux résultats suivants :

${\displaystyle E(f)\leqslant {\frac {1}{n!}}\|f^{(n+1)}\|_{\infty ,[a,b]}\int _{a}^{b}|K_{n}(t)|\,\mathrm {d} t.}$

Si ${\displaystyle f\in C^{n+1}([a,b])}$ et si K_n est de signe constant, alors il existe ${\displaystyle \xi \in ]a,b[}$ tel que

${\displaystyle E(f)={\frac {1}{n!}}f^{(n+1)}(\xi )\int _{a}^{b}K_{n}(t)\,\mathrm {d} t.}$

On donne ici quelques calculs du noyau de Peano.

L'erreur pour cette méthode d'ordre 1 s'écrit :

${\displaystyle K_{1}(t)=\int _{a}^{b}(x-t)_{+}\,\mathrm {d} x-(b-a)\left({\frac {a+b}{2}}-t\right)_{+}=\int _{t}^{b}(x-t)\,\mathrm {d} x-(b-a)\left({\frac {a+b}{2}}-t\right)_{+}}$

${\displaystyle K_{1}(t)={\frac {1}{2}}(b-t)^{2}-(b-a)\left({\frac {a+b}{2}}-t\right)_{+}.}$

${\displaystyle K_{1}(t)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}(t-a)^{2}&{\text{ si }}t\leq {\tfrac {a+b}{2}},\\{\frac {1}{2}}(b-t)^{2}&{\text{ si }}t\geq {\tfrac {a+b}{2}}.\end{cases}}}$

Il vient alors, par application du deuxième résultat :

${\displaystyle E(f)={\frac {1}{1!}}f^{''}(\xi )\int _{a}^{b}K_{1}(t)\,\mathrm {d} t={\frac {(b-a)^{3}}{24}}f^{''}(\xi ).}$

Le noyau de Peano pour cette méthode d'ordre 1 s'écrit :

${\displaystyle K_{1}(t)={\frac {1}{2}}(t-a)(t-b),}$

On sait que la méthode de quadrature de Gauss de degré m est d'ordre 2m+1. Il n'existe pas de formule générale dans ce cas, mais on peut obtenir le résultat suivant[7] :

Soit P_{m + 1} le polynôme d'interpolation des points de Gauss associés au poids w sur [a , b]. Alors le noyau de Peano K_2m+1 est positif et pour tout ${\displaystyle f\in C^{2m+2}}$, il existe ${\displaystyle \xi \in ]a,b[}$ tel que

${\displaystyle E(f)={\frac {f^{(2m+2)}(\xi )}{(2m+2)!}}\int _{a}^{b}P_{m+1}(t)^{2}w(t)\,\mathrm {d} t.}$