Méthode du point médian

En analyse numérique, la méthode du point médian est une méthode permettant de réaliser le calcul numérique d'une intégrale

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x.}$

Le principe est d'approcher l'intégrale de la fonction ${\displaystyle f}$ par l'aire d'un rectangle de base le segment ${\displaystyle [a,b]}$ et de hauteur ${\displaystyle f\left({\frac {a+b}{2}}\right)}$, ce qui donne :

${\displaystyle R=(b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right).}$

Cette aire est aussi celle du trapèze de base ${\displaystyle [a,b]}$ et dont le côté opposé est tangent au graphe de ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle c={\frac {a+b}{2}}}$, ce qui explique sa relative bonne précision.

Pour une fonction à valeurs réelles, deux fois continûment différentiable sur le segment ${\displaystyle [a,b]}$, l'erreur commise est de la forme

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x-(b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right)={\frac {(b-a)^{3}}{24}}f''(\xi )}$

pour un certain ${\displaystyle \xi \in [a,b]}$. L'erreur est deux fois plus petite que celle donnée par la méthode des trapèzes.

Cette méthode est un cas des formules de Newton-Cotes, où le polynôme d'interpolation est de degré ${\displaystyle 0}$. Elle est exacte pour les polynômes de degré inférieur ou égal à ${\displaystyle 1}$.

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