Arrondi (mathématiques)

L'arrondi au plus proche d'un nombre x à 10^-n est le multiple de 10^-n le plus proche de ce nombre[7].

Ainsi

• l'arrondi au centième de 1,471 est 1,47, celui de 1,476 est 1,48 celui de -1,471 est -1,47
• l'arrondi à l'unité de 8,37 est 8, celui de -17,62 est -18.
• l'arrondi au millier de 135 786 est 136 000

L'arrondi d'un nombre réduit le nombre de chiffres significatifs et introduit une erreur d'arrondi majorée en valeur absolue par[8] 0,5.10^-n.

Il arrive que le nombre x soit à égale distance de deux multiples de 10^-n. Cela se produit quand les chiffres négligés sont 5 suivi d'une infinité de 0. Dans ce cas, il y a ambiguïté sur le multiple de 10^-n à prendre. Plusieurs choix sont possibles et donnent lieu aux variantes suivantes.

C'est l'arrondi privilégié en mathématique élémentaire[9]. Cela consiste, pour un nombre positif, à regarder le chiffre qui suit le dernier chiffre retenu.

• si ce chiffre suivant est 0, 1, 2, 3, ou 4, on ne retient que les chiffres précédents sans les modifier (arrondi par défaut).
• si ce chiffre suivant est 5, 6, 7, 8, 9 , on retient les chiffres précédents en augmentant d'une unité le dernier chiffre (arrondi par excès).

Dans cette convention, l'ambiguïté est levée en prenant, pour un nombre positif, l'arrondi par excès.

Cette notion d'arrondi (prendre l'entier le plus proche, et s'il y a plusieurs candidats prendre le plus grand en valeur absolue) est la plus courante dans les logiciels grand public. Elle est notamment mise en œuvre dans :

• les calculatrices Texas Instruments et Casio,
• les logiciels Microsoft Excel[10], LibreOffice Calc[11], GeoGebra, GNU Octave,
• le langage C qui, par ailleurs, n'arrondit qu'à l'unité[12].

Cette notion d'arrondi présente cependant l'inconvénient d’introduire un biais statistique lors d'accumulation de calculs d'arrondis sur des nombres positifs, puisque l'on arrondit alors systématiquement par excès dans les cas ambigus. D'autres conventions sont parfois utilisées dans des logiciels spécialisés pour éviter ce biais statistique, la plus courante étant l'arrondi au pair le plus proche.

La seule différence entre l'arrondi au pair le plus proche et l'arrondi présenté plus haut réside dans le traitement des cas ambigus : lorsqu'un nombre est équidistant de deux multiples consécutifs, on prend pour l'arrondi le multiple pair.

Par exemple :

• l'arrondi au pair le plus proche à 10^-2 près de 8,125 est 8,12,
• l'arrondi au pair le plus proche à 10^-1 près de -1,35 est -1,4.

Cette variante est notamment mise en œuvre dans :

• les micro-processeurs pour les nombres à virgule flottante (norme IEEE 754)[13],
• les logiciels Mathematica[14] et Maxima (qui arrondit à l'unité)[15], le langage Python[16]
• Les langages R[17] et MySQL[18] arrondissent en principe les flottants, en cas d’ambiguïté, au pair le plus proche mais avec des comportements inattendus selon le caractère représentable du nombre.
• DotNet arrondit ses flottants, en cas d’ambiguïté, par défaut, au pair le plus proche mais offre des options pour changer la règle[19].

Idéalement, on souhaite que l'arrondi au plus proche soit une fonction paire[20]. Cela est réalisé si l'arrondi est effectué sur la valeur absolue du nombre[21].

• l'arrondi au plus proche à 10^-1 près de -1,47 est -1,5
• l'arrondi au plus proche à 10^-1 près de -1,43 est -1,4
• l'arrondi au plus proche à 10^-1 près de -1,45 est -1,5 (arrondi arithmétique) ou -1,4 (arrondi au pair)

Pour l'arrondi arithmétique à 10^-n, cela revient à appliquer la formule ${\displaystyle \mathrm {arrondi} (x)=\mathrm {sgn} (x){\frac {E(|x|.10^{n}+{\frac {1}{2}})}{10^{n}}}}$ où ${\displaystyle \mathrm {sgn} }$ est la fonction donnant le signe du nombre, E est la fonction partie entière, et |...| la fonction valeur absolue.

Mais cette convention n'est pas universelle : certains sites[22] règlent l'ambiguité en proposant d'arrondir systématiquement par excès même pour les nombres négatifs, proposant -3,4 comme arrondi au plus proche de -3,45. Le langage Java utilise, pour son arrondi à l'unité, la formule[23]: ${\displaystyle \mathrm {Round} (x)=E(x+1/2)}$ qui n'est pas une fonction paire.

Quand un nombre est arrondi à zéro, il est parfois représenté par un zéro signé, en particulier, lorsqu'un nombre négatif est arrondi à zéro, le résultat de l'arrondi est parfois noté -0 pour indiquer ce fait. C'est notamment le cas en météorologie pour les températures.

Cette définition de l'arrondi au plus proche à 10^-n pour un nombre en écriture décimale s'étend naturellement à l'arrondi au plus proche à b^-n pour un nombre écrit en base b, en particulier en base 2 utilisée dans les ordinateurs.

Donald Knuth, par exemple, dans son travail sur l'écriture en virgule flottante, définit en base b l'arrondi au plus proche à p places pour un nombre f dont la valeur absolue est dans l'intervalle [1/b ; 1[ sous la forme suivante[7]:

• l'arrondi de f à p places est le multiple de b^-p le plus proche de f.

Pour lever le cas de l'équidistance, pour b pair, il choisit pour l'arrondi f ', le multiple de b^-p tel que b^p.f '+ b/2 est impair.

Cette définition est compatible avec l'arrondi au pair en base 10.

D'autres méthodes arrondissent de différentes manières. Tous les arrondis qui suivent (à l'exception de l'arrondi au multiple) provoquent une erreur d'arrondi inférieure ou égale à 10^-n.

L'arrondi vers + ∞ , ou arrondi par excès, à 10^-n près de x est le multiple de 10^-n, supérieur ou égal à x, le plus proche de x.

Il est proposé dans de nombreux langages sous la forme Ceiling (Wolfram[24]), souvent seulement à l'unité ( Maxima[25], R[17], Mysql[26], DotNet[27]).

L'arrondi vers - ∞ , ou arrondi par défaut, à 10^-n près de x est le multiple de 10^-n, inférieur ou égal à x, le plus proche de x.

Il est proposé dans de nombreux langages sous la forme Floor (Wolfram[28]), souvent seulement à l'unité (Maxima[25] , R[17], Mysql[29], DotNet[30]).

L'arrondi vers zéro, ou troncature, à 10^-n près de x est le multiple de 10^-n le plus proche de x qui lui soit plus petit en valeur absolue.

Cet arrondi se comporte comme l'arrondi vers - ∞ pour les valeurs positives et comme l'arrondi vers + ∞ pour les valeurs négatives[20].

Il est proposé dans de nombreux langages sous le forme Arrondi.Inf (Excel [31], OpenOffice[32]) ou Truncate (Maxima[25] à l'unité, Mysql[33], DotNet[34] à l'unité) ou Trunc (R[17] à l'unité)

Certains logiciels (Excel [35], OpenOffice[36]) proposent un arrondi vers l'infini comme le multiple de 10^-n le plus proche de x qui lui soit plus grand en valeur absolue.

Toutes les méthodes précédentes peuvent s'appliquer à des arrondis, non à un multiple d'une puissance de 10, mais à un multiple d'un nombre quelconque. Cela peut se révéler utile quand on cherche une précision intermédiaire. Par exemple, si on cherche à arrondir des sommes en euros au 5 cents le plus proche, on arrondira les valeurs 3,41 € et 3,42 € à 3,40 €, celles entre 3,43 € et 3,47 € à 3,45 € et les valeurs 3,48 € et 3,49 € à 3,50 €.

Certains langages informatiques ont mis en place ce type d'arrondi comme Excel et Libreoffice avec leurs fonctions ARRONDI.AU.MULTIPLE[37] - [38], PLANCHER[39] - [40], PLAFOND[41] - [42].