Équivariance

Le centre de gravité d'un triangle (à l'intersection des médianes rouges) est équivariant par transformation affine : le centre de gravité d'un triangle transformé est le transformé du centre de gravité du triangle initial.

En géométrie du triangle, l'aire et le périmètre d'un triangle sont invariants : ces valeurs ne changent pas par translation ou rotation du triangle. Cependant, des centres du triangle tels que le centre de gravité, le centre du cercle circonscrit, celui du cercle inscrit ou l'orthocentre ne sont pas invariants, car déplacer un triangle entrainera le déplacement des centres. Toutefois, ces centres sont équivariants :appliquer un déplacement (combinaison d'une translation et d'une rotation) à un triangle, puis construire son centre, produit le même point que construire d'abord le centre, puis appliquer le même déplacement. Plus généralement, les centres du triangle sont par définition équivariants par similitude (combinaison d'une translation, d'une rotation et d'une homothétie et éventuellement d'une symétrie)[1]; le centre de gravité est même équivariant par toute transformation affine[2].

La même fonction peut être invariante par l'action d'un groupe de symétries et équivariante par l'action d'un autre. Par exemple, par des similitudes au lieu de déplacements, l'aire et le périmètre ne sont plus invariants : appliquer une homothétie à un triangle change aussi son aire et son périmètre. Cependant, ces changements ont un caractère prévisible : si un triangle subit une homothétie de rapport k, le périmètre est multiplié par ${\displaystyle |k|}$ et son aire, par k². Ainsi, l'application associant un triangle à son aire ou son périmètre peut être vue comme équivariante par l'action du groupe des homothéties.

Une autre classe d'exemples simples vient de l'estimation statistique. La moyenne d'un échantillon (un ensemble de nombres réels) est souvent utilisé comme une tendance centrale d'un échantillon. Elle est équivariante par applications linéaires des nombres réels, donc par exemple elle n'est inchangée par le choix des unités utilisé pour représenter les nombres. Inversement, la moyenne n'est pas équivariante par transformations non linéaires comme des exponentielles.

La médiane d'un échantillon est équivariant pour un groupe plus grand de transformations, les fonctions (strictement) monotones sur les nombres réels. Cette analyse indique que la médiane est plus robuste devant certaines formes de changements dans un ensemble de données, et que (contrairement à la moyenne) elle a du sens sur des données ordinales[3]

Les concepts d'estimateur invariant et d'estimateur équivariant ont été utilisés pour formaliser ce style d'analyse.

Dans la théorie de la représentation des groupes finis, un espace vectoriel muni d'un groupe qui agit par transformations linéaires de l'espace est appelé représentation linéaire du groupe. Une application linéaire qui commute avec l'action est appelé un entremêleur. Ainsi, un entremêleur est juste une application linéaire équivariante entre deux représentations. De façon alternative, un entremêleur pour des représentations d'un groupe G sur un champ K est comparable à un homomorphisme de module de K[G]-modules, où K[G] est l'anneau de groupes de G[4].

Sous certaines conditions, si X et Y sont toutes deux des représentations irréductibles, alors un entremêleur (autre que l'application nulle) n'existe que si les deux représentations sont équivalentes (plus précisément, sont isomorphes comme modules). Cet entremêleur est alors unique à un facteur multiplicatif près (un scalaire non nul de K). Ces propriétés sont vérifiées si l'image de K[G] est une algèbre simple, de centre K (par le lemme de Schur : voir module simple). Par conséquent, dans des cas importants, la construction d'un entremêleur suffit à montrer que les représentations sont effectivement les mêmes[5].