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Théorème du point fixe de Ryll-Nardzewski

Le théorème du point fixe de Ryll-Nardzewski est un théorème de point fixe d'analyse fonctionnelle, annoncé[1] puis démontré[2] par le mathématicien polonais Czesław Ryll-Nardzewski (de), qui garantit l'existence d'un point fixe commun pour certains demi-groupes d'applications affines d'un compact convexe dans lui-même.

Énoncé

Soient X un espace localement convexe, Q un convexe non vide faiblement compact de X et G un demi-groupe d'applications affines de X dans X, faiblement continues et laissant Q stable.

Si G est non contractant sur Q, alors il existe dans Q un point fixe par tous les éléments de G.

Dire que l'ensemble d'applications G est un demi-groupe signifie simplement qu'il est stable par composition.

L'hypothèse qu'il est non contractant sur Q est définie par :

pour tous points distincts x et y dans Q, le vecteur nul n'appartient pas à l'adhérence de l'ensemble des T(x) – T(y), où T parcourt G.

Remarques

Notes et références

  1. (en) C. Ryll-Nardzewski, « Generalized random ergodic theorems and weakly almost periodic functions », Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys., vol. 10, , p. 271-275.
  2. (en) C. Ryll-Nardzewski, « On fixed points of semi-groups of endomorphisms of linear spaces », dans Proc. 5-th Berkeley Symp. on Math. Statist. and Prob., vol. 2.1, Univ. California Press, (lire en ligne), p. 55-61.
  3. (en) Isaac Namioka et Edgar Asplund, « A geometric proof of Ryll-Nardzewski's fixed point theorem », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 73, no 3, , p. 443-445 (lire en ligne).
  4. (en) John B. Conway (en), A Course in Functional Analysis, Springer, coll. « GTM » (no 96), , 2e éd., 400 p. (ISBN 978-0-387-97245-9, lire en ligne), chap. V, § 10 (« The Ryll-Nardzewski fixed-point theorem »).

Liens externes

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