Théorème du point fixe de Markov-Kakutani

En mathématiques, le théorème du point fixe de Markov-Kakutani s'énonce comme suit :

Soient K un compact convexe non vide d'un espace vectoriel topologique séparé X et G un ensemble d'opérateurs affines continus sur X, qui commutent deux à deux et laissent K stable. Alors il existe dans K au moins un point fixe par tous les éléments de G.

Il a été démontré par Markov[1] dans le cas où l'espace vectoriel est localement convexe et par Kakutani[2] dans le cas général[3].

Démonstration[3]

Montrons d'abord, pour $f$ fixé dans G, que l'ensemble (compact convexe) de ses points fixes dans $K$ est non vide. Notons C le compact convexe $(\mathrm {id} -f)(K)$ . Soit $x$ un élément de $K$ . Pout tout entier $n>0$ , l'élément $x_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}(\mathrm {id} -f)\left(f^{k}(x)\right)$ appartient à C, or la suite des $x_{n}$ converge vers 0, puisque $K$ est borné et que $x_{n}={\frac {x}{n}}-{\frac {f^{n}(x)}{n}}.$ Comme C est fermé, on en déduit qu'il contient 0, c'est-à-dire qu'il existe bien dans $K$ un point fixe par $f$ .
Du théorème quand G est un singleton (point précédent) on déduit facilement le théorème quand G est fini (par récurrence sur son cardinal).
On en déduit le cas général grâce à la caractérisation en termes de fermés de la compacité de K.

Références

A. Markov, « Quelques théorèmes sur les ensembles abéliens », Doklady Akad. Nauk SSSR, vol. 10,‎ 1936, p. 311-314
(en) S. Kakutani, « Two fixed-point theorems concerning bicompact convex sets », Proc. Imp. Acad Tokyo, vol. 14,‎ 1938, p. 242-245
(en) Tullio Ceccherini-Silberstein et Michel Coornaert, Cellular Automata and Groups, Springer, 2010, 440 p. (ISBN 978-3-642-14033-4), 387-389

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