Théorème des unités de Dirichlet

C'est le cas particulier d'un corps quadratique réel : K = ℚ(√d) avec d > 0 et O_K = ℤ[ω]. Le morphisme L de E(K) dans ℝ² est ici l'application qui à α associe (ln(|α|), ln(|α_c|)). Son noyau C est le sous-groupe {–1, 1}.

• Il existe un nombre réel B, et une infinité d'éléments de O_K dont la norme en valeur absolue est plus petite que B.

L'argument utilisé est géométrique, il correspond à l'usage du théorème de Minkowski sur un réseau, ici de ℝ². Un réseau de ℝ² est un sous-groupe discret. Graphiquement, il correspond à un quadrillage constitué par les 4 sommets nu + mv où u et v sont deux vecteurs libres de ℝ² et n et m des éléments de ℤ. Le volume fondamental V du réseau est égal à la surface du parallélogramme constitué par les quatre points 0, u, v, u + v. Le théorème de Minkowski indique qu'un rectangle centré en (0, 0) et de surface strictement supérieure à 4 fois celle du volume fondamental contient au moins un point du réseau différent du point nul.

On choisit B strictement supérieur à V et on construit une suite de points correspondant à des éléments α_n de ℤ[ω], dont la norme est en valeur absolue toujours plus petite que B, et une suite de rectangles. La largeur du rectangle diminue chaque fois suffisamment pour être certain que les points précédents de la suite d'éléments de ℤ[ω] ne puissent faire partie du nouveau rectangle. La hauteur du rectangle augmente suffisamment pour que le théorème de Minkowski nous assure de l'existence d'un point de ℤ[ω] dans le nouveau rectangle.

Soit φ, l'application de K dans ℝ², qui à un élément α associe (α, α_c). L'image de O_K par φ est le réseau de ℝ² engendré par les vecteurs u = (1, 1) et v = (ω, ω_c) car (1, ω) forme une base du ℤ-module O_K.

On considère la suite de rectangles R_n centrés en 0 de largeur 2t_n et de hauteur 2B/t_n. Leurs surfaces sont toujours égales à 4B et ils contiennent nécessairement un point de l'image de ℤ[ω] d'après le théorème de Minkowski. Un point β de O_K dont l'image par φ est dans le rectangle R_n, possède une valeur absolue inférieure à t_n et un conjugué de valeur absolue inférieure à B/t_n. Sa norme est en conséquence bien bornée par B.

Définissons par récurrence les suites (t_n), correspondant à la demi-longueur des rectangles et α_n la suite des points de O_K dont l'image est dans R_n. On pose t₀ = 1 et α₀ un point non nul de ℤ[ω] et dont l'image est dans R₀. Supposons les deux suites définies à l'ordre n. Soit t_{n + 1} un réel strictement positif et strictement inférieur à la valeur absolue de α_n. Le rectangle R_{n + 1} ne contient aucune image des α_j si j est inférieur ou égal à n car sa longueur est strictement plus petite que la valeur absolue du plus petit des α_j, qui forme une suite décroissante en valeur absolue. En revanche, sa surface, égale à 4B > 4V garantit, d'après le théorème de Minkowski, l'existence d'un point α_{n + 1} non nul dont l'image est à l'intérieur du rectangle R_{n + 1}. La suite (α_n) est bien une suite infinie de points distincts dont la valeur absolue de la norme est strictement inférieure à B.

• Il existe deux indices i et j distincts et une unité ε de ℤ[ω] tels que α_i = ε.α_j :

Autrement dit, en notant J_i l'idéal principal engendré α_i : il existe deux indices i et j distincts tels J_i=J_j. Soit N>0 un entier tel que la suite des valeurs absolues des normes des α_i prenne la valeur N pour une infinité d'indices i (un tel entier existe puisque cette suite est bornée). Tous les J_i correspondants sont des sous-groupes additifs de ℤ[ω] qui contiennent Nℤ[ω]. Il n'y en a donc qu'un nombre fini, puisqu'ils correspondent bijectivement à des sous-groupes du groupe quotient ℤ[ω]/Nℤ[ω], qui est fini (de cardinal N²). D'où la conclusion.

• Il existe une unité différente de ±1.

Soient i, j et ε comme ci-dessus. Comme α_i et α_j sont de valeurs absolues différentes, on en déduit que ε, égal au quotient α_i/α_j, ne peut être égal à ±1. On a ainsi montré l'existence d'une unité différente de ±1.

Soient :

• ${\displaystyle {\begin{matrix}\Sigma$ :&K&\longrightarrow &\mathbb {R} ^{r_{1}}\times \mathbb {C} ^{r_{2}}\simeq \mathbb {R} ^{n}&\\&\alpha &\mapsto &\Sigma (\alpha )&={\big (}\sigma _{1}(\alpha ),\cdots ,\sigma _{r_{1}+r_{2}}(\alpha ){\big )};\end{matrix}}}
• V le volume fondamental du réseau Σ(O_K) ;
• des réels c_j suffisamment grands pour que le convexe${\displaystyle X=\{(x_{1},\ldots ,x_{r_{1}+r_{2}})\in \mathbb {R} ^{r_{1}}\times \mathbb {C} ^{r_{2}}~|~\forall j,|x_{j}|<c_{j}\}}$soit de volume strictement supérieur à 2ⁿV ;
• ${\displaystyle c=c_{1}\ldots c_{r_{1}}c_{r_{1}+1}^{2}\ldots c_{r_{1}+r_{2}}^{2};}$
• a₁O_K, … , a_NO_K les idéaux principaux dont norme est majorée en valeur absolue par c (l'étude du groupe des classes d'idéaux montre qu'ils sont en nombre fini) ;
• y₁, … , y_r1+r2 les réels définis par${\displaystyle \forall j\geq 2,~y_{j}={\frac {c_{j}}{\min(|\sigma _{j}(a_{1})|,\ldots ,|\sigma _{j}(a_{N})|)}}\quad {\text{et}}\quad y_{1}\ldots y_{r_{1}}y_{r_{1}+1}^{2}\ldots y_{r_{1}+r_{2}}^{2}=1.}$

Alors :

• d'après le théorème de Minkowski, il existe dans O_K un élément a non nul tel que ${\displaystyle \scriptstyle \forall j,~|\sigma _{j}(a)y_{j}|<c_{j}}$ ;
• on en déduit que ${\displaystyle \scriptstyle |{\mathcal {N}}_{K/\mathbb {Q} }(a)|<c}$. L'élément a est donc de la forme a_ku₁ pour un certain k ≤ N et une certaine unité u₁ ;
• par définition de y₂, … , y_r1+r2 on a alors : ${\displaystyle \scriptstyle \forall j>1,~|\sigma _{j}(u_{1})|<1}$.

On construit de même, pour tout i de 2 à r₁ + r₂ – 1, une unité u_i telle que ${\displaystyle \scriptstyle \forall j\neq i,~|\sigma _{j}(u_{i})|<1}$. Ainsi, pour chaque i de 1 à r₁ + r₂ – 1, la somme des r₁ + r₂ composantes du vecteur L(u_i) est nulle et toutes sont strictement négatives sauf la i-ième. Il en résulte que la matrice carrée de taille r₁ + r₂ – 1 obtenue en disposant ces vecteurs en lignes et en supprimant la dernière colonne est à diagonale strictement dominante, donc inversible, si bien que (L(u₁), … , L(u_r1+r2–1)) est libre.