Symplectomorphisme

Soient ${\displaystyle (M,\omega )}$ et ${\displaystyle (N,\eta )}$ deux variétés symplectiques.

Une application différentiable ${\displaystyle f:(M,\omega )\rightarrow (N,\eta )}$ est appelée morphisme symplectique lorsque, pour tout ${\displaystyle x\in M}$, la différentielle ${\displaystyle df(x):T_{x}M\rightarrow T_{f(x)}N}$ est une isométrie linéaire entre espaces vectoriels symplectiques. Autrement dit :

${\displaystyle f^{*}\eta =\omega }$

Si ${\displaystyle \eta =\omega }$, comme ${\displaystyle \omega }$ est non dégénérée, les différentielles ${\displaystyle df(x)}$ sont des isomorphismes linéaires, et de fait, par le théorème d'inversion locale, ${\displaystyle f}$ est un difféomorphisme local.

Lorsque ${\displaystyle f}$ est de plus un difféomorphisme (global), ${\displaystyle f}$ est appelé un symplectomorphisme.

• Les translations de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ sont des symplectomorphismes.
• Les difféomorphismes hamiltoniens sont des symplectomorphismes.

Remarque : si ${\displaystyle \pi :P\rightarrow M}$ est un revêtement et ${\displaystyle \omega }$ une forme symplectique sur ${\displaystyle M}$, il existe une unique forme symplectique ${\displaystyle \eta }$ sur ${\displaystyle P}$ telle que ${\displaystyle \pi }$ soit un morphisme symplectique.

Le groupe des symplectomorphismes d'une variété symplectique ${\displaystyle (M,\omega )}$, noté ${\displaystyle Symp(M,\omega )}$, dénote l'ensemble des symplectomorphismes ou difféomorphismes symplectiques de ${\displaystyle (M,\omega )}$, muni de la loi de composition.

• Conjecture d'Arnold