Spectre (topologie)

L'un des invariants les plus importants des spectres sont ses groupes d'homotopie. Ils reflètent la définition des groupes d'homotopie stable des espaces puisque la structure des morphismes de suspension fait partie intégrante de sa définition. Étant donné un spectre ${\displaystyle E}$, on définit le groupe d'homotopie ${\displaystyle \pi _{n}(E)}$ comme la colimite

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{n}(E)&=\lim _{\to k}\pi _{n+k}(E_{k})\\&=\lim _{\to }\left(\cdots \to \pi _{n+k}(E_{k})\to \pi _{n+k+1}(E_{k+1})\to \cdots \right)\end{aligned}}}$

où les morphismes sont induits par la composition du morphisme de suspension

${\displaystyle \Sigma :E_{n}\to \Sigma E_{n}}$

avec le morphisme structural

${\displaystyle \Sigma E_{n}\to E_{n+1}}$

Un spectre est dit connectif si ses ${\displaystyle \pi _{k}}$ sont nuls pour k négatif.

Considérons la cohomologie singulière ${\displaystyle H^{n}(X;A)}$ à coefficients dans un groupe abélien ${\displaystyle A}$. Pour un CW-complexe ${\displaystyle X}$, le groupe ${\displaystyle H^{n}(X;A)}$ peut être identifié avec l'ensemble des classes d'homotopie d'applications de ${\displaystyle X}$ dans ${\displaystyle K(A,n)}$, l'espace d'Eilenberg-MacLane avec homotopie concentrée en degré ${\displaystyle n}$. Cela s'écrit

${\displaystyle [X,K(A,n)]=H^{n}(X;A)}$

Alors le spectre correspondant ${\displaystyle HA}$ a pour ${\displaystyle n}$-ième espace ${\displaystyle K(A,n)}$ ; c'est ce qu'on appelle le spectre d'Eilenberg-MacLane. Cette construction peut être utilisée pour intégrer n'importe quel anneau ${\displaystyle A}$ dans la catégorie des spectres. Cette intégration constitue la base de la géométrie spectrale utilisée comme modèle pour la géométrie algébrique dérivée. L'une des propriétés importantes trouvées dans ce plongement sont les isomorphismes

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{i}(H(R/I)\wedge _{R}H(R/J))&\cong H_{i}\left(R/I\otimes ^{\mathbf {L} }R/J\right)\\&\cong \operatorname {Tor} _{i}^{R}(R/I,R/J)\end{aligned}}}$

montrant que la catégorie des spectres garde une trace des informations dérivées des anneaux commutatifs, où le smash-produit agit comme le produit tensoriel dérivé. De plus, le spectre d'Eilenberg – Maclane peut être utilisé pour définir des théories telles que l'homologie topologique de Hochschild pour les anneaux commutatifs, ce qui donne une théorie plus raffinée de l'homologie de Hochschild classique.

Comme deuxième exemple important, considérons la K-théorie topologique. Au moins pour X compact, ${\displaystyle K^{0}(X)}$ est défini comme étant le groupe de Grothendieck du monoïde des fibrés vectoriels complexes sur X . Aussi, ${\displaystyle K^{1}(X)}$ est le groupe correspondant aux fibrés vectoriels sur la suspension de X. La K-théorie topologique est une théorie cohomologique généralisée, elle donne donc un spectre. L'espace zéro est ${\displaystyle \mathbb {Z} \times BU}$ tandis que le premier espace est ${\displaystyle U}$. Ici ${\displaystyle U}$ est le groupe unitaire infini et ${\displaystyle BU}$ est son espace classifiant. Par périodicité de Bott on obtient ${\displaystyle K^{2n}(X)\cong K^{0}(X)}$ et ${\displaystyle K^{2n+1}(X)\cong K^{1}(X)}$ pour tout n, donc tous les espaces du spectre topologique de la théorie K sont donnés soit par ${\displaystyle \mathbb {Z} \times BU}$ soit par ${\displaystyle U}$. Il existe une construction correspondante utilisant des faisceaux de vecteurs réels au lieu de faisceaux de vecteurs complexes, ce qui donne un spectre 8-périodique .

L'un des exemples par excellence d'un spectre est le spectre des sphères ${\displaystyle \mathbb {S} }$ . Il s'agit d'un spectre dont les groupes d'homotopie sont donnés par les groupes d'homotopie stable des sphères, donc

${\displaystyle \pi _{n}(\mathbb {S} )=\pi _{n}^{\mathbb {S} }}$

Il est possible d'écrire ce spectre explicitement comme ${\displaystyle \mathbb {S} _{i}=S^{i}}$ où ${\displaystyle \mathbb {S} _{0}=\{0,1\}}$. Le smash-produit donne une structure de produit sur ce spectre

${\displaystyle S^{n}\wedge S^{m}\simeq S^{n+m}}$

induisant une structure d'anneau sur ${\displaystyle \mathbb {S} }$. De plus, si l'on considère la catégorie des spectres symétriques, ce spectre devient l'objet initial, analogue à ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ dans la catégorie des anneaux commutatifs.

Un autre exemple canonique de spectres provient des spectres de Thom représentant diverses théories de cobordisme. Cela inclut le cobordisme réel ${\displaystyle MO}$, le cobordisme complexe ${\displaystyle MU}$, le cobordisme de repères, le cobordisme de spin ${\displaystyle MSpin}$, le cobordisme de cordes ${\displaystyle MString}$, et ainsi de suite (en). En effet, pour tout groupe topologique ${\displaystyle G}$ il existe un spectre de Thom ${\displaystyle MG}$ .

Un spectre peut être construit à partir d'un espace. Le spectre de suspension d'un espace ${\displaystyle X}$, noté ${\displaystyle \Sigma ^{\infty }X}$, est un spectre ${\displaystyle X_{n}=S^{n}\wedge X}$ (les applications structurales sont les identités) Par exemple, le spectre de suspension de la 0-sphère est le spectre des sphères. Les groupes d'homotopie de ce spectre sont alors les groupes d'homotopie stables de ${\displaystyle X}$, donc

${\displaystyle \pi _{n}(\Sigma ^{\infty }X)=\pi _{n}^{\mathbb {S} }(X)}$

La construction du spectre de suspension implique que chaque espace peut être considéré comme une théorie de cohomologie. En fait, il définit un foncteur

${\displaystyle \Sigma ^{\infty }:h{\text{CW}}\to h{\text{Spectra}}}$

de la catégorie homotopique des CW-complexes vers la catégorie homotopique des spectres. Les morphismes sont donnés par

${\displaystyle [\Sigma ^{\infty }X,\Sigma ^{\infty }Y]={\underset {\to n}{\operatorname {colim} {}}}[\Sigma ^{n}X,\Sigma ^{n}Y]}$

ce qui par le théorème de suspension de Freudenthal finit par se stabiliser. On entend par là que

${\displaystyle \left[\Sigma ^{N}X,\Sigma ^{N}Y\right]\simeq \left[\Sigma ^{N+1}X,\Sigma ^{N+1}Y\right]\simeq \cdots }$ et ${\displaystyle \left[\Sigma ^{\infty }X,\Sigma ^{\infty }Y\right]\simeq \left[\Sigma ^{N}X,\Sigma ^{N}Y\right]}$

pour un certain entier ${\displaystyle N}$. Pour un CW-complexe ${\displaystyle X}$ il existe une construction inverse ${\displaystyle \Omega ^{\infty }}$ qui prend un spectre ${\displaystyle E}$ et forme un espace

${\displaystyle \Omega ^{\infty }E={\underset {\to n}{\operatorname {colim} {}}}\Omega ^{n}E_{n}}$

appelé espace de lacets infini du spectre. Pour un CW-complexe ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \Omega ^{\infty }\Sigma ^{\infty }X={\underset {\to }{\operatorname {colim} {}}}\Omega ^{n}\Sigma ^{n}X}$

et cette construction vient avec une inclusion ${\displaystyle X\to \Omega ^{n}\Sigma ^{n}X}$ pour tout ${\displaystyle n}$, d'où un morphisme

${\displaystyle X\to \Omega ^{\infty }\Sigma ^{\infty }X}$

qui est injectif. Malheureusement, ces deux structures, avec l'ajout du smash-produit, conduisent à une complexité importante dans la théorie des spectres car il ne peut exister une seule catégorie de spectres qui satisfasse une liste de cinq axiomes reliant ces structures[1]. L'adjonction ci-dessus n'est valable que dans les catégories d'homotopie des espaces et des spectres, mais pas toujours avec une catégorie spécifique de spectres (pas la catégorie d'homotopie).

Un Ω-spectre est un spectre dont l'adjoint de l'application structurale (${\displaystyle X_{n}\to \Omega X_{n+1}}$) est une équivalence faible. Le spectre de la K-théorie d'un anneau est un exemple de Ω-spectre.

Un spectre en anneaux (en) est un spectre X tel que les diagrammes qui décrivent les axiomes d'anneaux en termes de smash-produits commutent à homotopie près (${\displaystyle S^{0}\to X}$ correspond à l'identité). Par exemple, le spectre de la K-théorie topologique est un spectre en anneaux. On peut définir de même la notion de spectre de modules.

Pour de nombreux autres exemples, consultez la liste des théories de cohomologie.

• G-spectre (en)
• Spectre des morphismes (en)
• Suite spectrale d'Adams (en)

• (en) Spectral Sequences - Allen Hatcher - contient une excellente introduction aux spectres et aux applications pour la construction de la suite spectrale d'Adams
• (en) An untitled book project about symmetric spectra – Stefan Schwede, 2007

Introduction

(en) J. F. Adams, Stable Homotopy and Generalised Homology, University of Chicago Press, 1974 (ISBN 9780226005249, lire en ligne)

Article moderne développant la théorie

(en) Michael F. Atiyah, « Bordism and cobordism », Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, vol. 57, n^o 2,‎ 1961, p. 200–8 (DOI 10.1017/s0305004100035064)