Théorème de suspension de Freudenthal

Le théorème de suspension de Freudenthal est un théorème de mathématiques démontré en 1937 par Hans Freudenthal[1]. C'est un résultat fondamental sur l'homotopie, qui explique le comportement des groupes d'homotopie d'un espace pointé lorsqu'on en prend la suspension et qui conduit à la théorie de l'homotopie stable.

Énoncé

Soit X un CW-complexe pointé n-connexe. L'application X → Ω(X ∧ S¹), où Ω désigne le foncteur espace des lacets et ∧ le smash-produit, induit un morphisme de groupes

π

_k(X) →

π

_k(Ω(X ∧ S¹)) ≃

π

_k+1(X ∧ S¹).

Le théorème de suspension dit que ce morphisme est bijectif si k ≤ 2n et surjectif si k = 2n + 1[2].

La n-sphère Sⁿ étant (n – 1)-connexe, le groupe $π$ _n+k(Sⁿ) est indépendant de n pour n ≥ k + 2[3]. Ce groupe est appelé le k-ième groupe d'homotopie stable des sphères.
Plus généralement, pour k ≥ 1 fixé et pour n ≥ k/2, on peut définir de même les groupes d'homotopie stable de tout espace X n-connexe. Ce sont en fait les groupes d'homotopie du spectre (en) associé à X.

(de) H. Freudenthal, « Über die Klassen der Sphärenabbildungen. I. Große Dimensionen », Compositio, vol. 5,‎ 1938, p. 299-314 (lire en ligne)
(en) Paul G. Goerss et John F. Jardine, Simplicial Homotopy Theory, Birkhäuser, coll. « Progress in Mathematics » (n^o 174), 1999 (lire en ligne), p. 175
(en) Allen Hatcher, Algebraic Topology, New York, CUP, 2001, 544 p. (ISBN 978-0-521-79540-1, lire en ligne), p. 360

(en) George W. Whitehead, « On the Freudenthal Theorems », Ann. Math., vol. 57, n^o 2,‎ 1953 (JSTOR 1969855)
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