Smash-produit

Le smash-produit de tout espace pointé X avec une n-sphère est homéomorphe à la suspension réduite de X itérée n fois :

${\displaystyle X\wedge S^{n}=\Sigma ^{n}X.}$

Par exemple : X∧S⁰ =X, X∧S¹ = ΣX et S^m∧Sⁿ = ΣⁿS^m = S^{m + n}, en particulier S¹∧S¹ = ΣS¹ = S² est un quotient du tore T².

Pour tous espaces pointés X, Y et Z d'une sous-catégorie « appropriée », comme celle des espaces compactement engendrés, on a des homéomorphismes naturels (préservant le point base) :

${\displaystyle X\wedge Y\simeq Y\wedge X\quad {\text{et}}\quad (X\wedge Y)\wedge Z\simeq X\wedge (Y\wedge Z),}$

qui font d'une telle sous-catégorie une catégorie monoïdale symétrique, avec le smash-produit comme produit monoïdal et la 0-sphère pointée (l'espace discret à deux éléments) comme objet unité.

La catégorie naïve des espaces pointés, qui n'est pas cartésienne fermée, n'est pas monoïdale[1] : (ℚ∧ℚ)∧ℕ ≄ ℚ∧(ℚ∧ℕ)[2].

Le smash-produit joue, dans la catégorie des espaces pointés, le même rôle que le produit tensoriel dans la catégorie des modules sur un anneau commutatif. En particulier si A est localement compact, le foncteur (–∧A) est adjoint à gauche du foncteur Hom(A, –) :

${\displaystyle \mathrm {Hom} (X\wedge A,Y)\simeq \mathrm {Hom} (X,\mathrm {Hom} (A,Y)),}$

où Hom(A,Y) est l'espace des morphismes d'espaces pointés, muni de la topologie compacte-ouverte.

En prenant pour A le cercle unité S¹, on obtient que le foncteur suspension réduite Σ est adjoint à gauche du foncteur espace des lacets Ω :

${\displaystyle \mathrm {Hom} (\Sigma X,Y)\cong \mathrm {Hom} (X,\Omega Y).}$

• (en) Allen Hatcher, Algebraic Topology, New York, CUP, 2001, 544 p. (ISBN 978-0-521-79540-1, lire en ligne)
• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Smash product » (voir la liste des auteurs).

• Bouquet (mathématiques)
• Joint (mathématiques)
• Théorème de suspension de Freudenthal