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Espace de Thom

En topologie, l'espace de Thom est un espace topologique associé à un fibré vectoriel. Il est au cœur de plusieurs constructions homotopiques, parmi lesquelles la construction de Thom-Pontrjagin et le spectre (en) de Thom.

Il porte le nom de René Thom, qui a introduit ces constructions en 1954[1].

Construction

Soit un fibré vectoriel de rang k sur un espace topologique . Notons l'espace total de ce fibré. Si l'on munit les fibres de d'un produit scalaire, on peut définir les fibrations en boules et en sphères associées :

et .

La restriction de à ces deux espaces topologiques définit naturellement une fibration en boules et en sphères , respectivement. On vérifie facilement qu'à isomorphisme près, ces deux fibrations ne dépendent pas du choix initial d'un produit scalaire et sont donc naturellement associées à .

L'espace de Thom du fibré est alors simplement le quotient . En d'autres termes, on obtient à partir du fibré en boules en identifiant tous les points de . De manière équivalente, est le compactifié d'Alexandroff de l'espace total .

Note

  1. R. Thom, « Quelques propriétés globales des variétés différentiables », Comm. Math. Helv., vol. 28,‎ , p. 17–86

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