Ensemble simplicial

À tout complexe simplicial abstrait (V, Σ) est associé naturellement l'ensemble simplicial X dont les n-simplexes sont les applications g de {0, … , n} dans V dont l'image appartient à Σ, avec X(f)(g) = g ∘ f.

Soit K un anneau commutatif. À tout ensemble E est associé un K-module libre K[E] de base E donc par fonctorialité, à tout ensemble simplicial X est associé un K-module simplicial M = K[X][1] : pour tout entier n, le module M_n est le K-module libre K[X_n] et (en notant[2] [n] l'ensemble totalement ordonné {0, 1, … , n}) pour toute application croissante f : [m] → [n], l'application linéaire M(f) : M_n → M_m est l'application K[X(f)] : K[X_n] → K[X_m] induite par X(f) : X_n → X_m.

Par ailleurs, à tout module simplicial M on associe naturellement un complexe de chaînes en posant, pour tout n : ${\displaystyle \partial _{n}=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}M(\delta _{i}^{n}):M_{n}\rightarrow M_{n-1},}$ où δ_iⁿ : [n – 1] → [n] désigne la i^e coface, c'est-à-dire l'injection croissante de [n – 1] dans [n] dont l'image ne contient pas i.

L'homologie simpliciale (à coefficients dans K) de l'ensemble simplicial X est par définition[1] l'homologie du complexe de chaînes associé au module simplicial K[X].

Elle ne dépend par construction que de la structure de module semi-simplicial déduite de K[X], donc de celle d'ensemble semi-simplicial (en) déduite de X, par oubli des dégénérescences.

• (en) S. I. Gelfand et Yu. I. Manin, Methods of homological algebra, chap. 1.

• Lemme de Yoneda
• Groupe simplicial (en)
• Correspondance de Dold-Kan (en)
• Préfaisceau simplicial (en)