Résolution d'un triangle

On considère un triangle dont les trois côtés a, b et c sont connus. Les angles sont déduits à partir du théorème d'Al-Kashi et l'aire (S) à partir de la formule de Héron :

• ${\displaystyle \alpha =\arccos \left({\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)}$
• ${\displaystyle \beta =\arccos \left({\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}}\right)}$
• ${\displaystyle \gamma =\arccos \left({\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)}$
• ${\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},\,{\text{ avec }}\,p={\frac {a+b+c}{2}}}$

Chacun des facteurs dans l'expression de S est positif, d'après l'inégalité triangulaire.

On considère un triangle dont l'angle γ est connu, ainsi que les deux côtés adjacents a et b. Le dernier côté s'obtient grâce au théorème d'Al-Kashi, les deux angles manquants par la loi des tangentes et le complément à π, et l'aire par la formule du produit vectoriel :

• ${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}}$
• ${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{2}}-{\frac {\gamma }{2}}+\arctan \left({\frac {a-b}{a+b}}\cot {\frac {\gamma }{2}}\right)}$
• ${\displaystyle \beta ={\frac {\pi }{2}}-{\frac {\gamma }{2}}-\arctan \left({\frac {a-b}{a+b}}\cot {\frac {\gamma }{2}}\right)}$
• ${\displaystyle S={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma }$

On considère un triangle dont un angle β est connu, ainsi qu'un côté adjacent de cet angle c et le côté opposé b. Le deuxième angle γ s'obtient par la loi des sinus, le dernier angle α par complément à π et le dernier côté par la loi des sinus :

• ${\displaystyle \gamma =\arcsin \left({\frac {c\sin \beta }{b}}\right)}$
• ${\displaystyle \alpha =\pi -\beta -\arcsin \left({\frac {c\sin \beta }{b}}\right)}$
• ${\displaystyle a={\sqrt {b^{2}-c^{2}\sin ^{2}\beta }}+c\cos \beta }$
• ${\displaystyle S={\frac {1}{2}}c\left({\sqrt {b^{2}-c^{2}\sin ^{2}\beta }}+c\cos \beta \right)\sin \beta }$

Si β est aigu et que b < c, il existe une seconde solution :

• ${\displaystyle \gamma =\pi -\arcsin \left({\frac {c\sin \beta }{b}}\right)}$
• ${\displaystyle \alpha =-\beta +\arcsin \left({\frac {c\sin \beta }{b}}\right)}$
• ${\displaystyle a=c\cos \beta -{\sqrt {b^{2}-c^{2}\sin ^{2}\beta }}}$
• ${\displaystyle S={\frac {1}{2}}c\left({\sqrt {b^{2}-c^{2}\sin ^{2}\beta }}-c\cos \beta \right)\sin \beta }$

La résolution n'est pas possible pour toutes les valeurs des paramètres. La condition suivante doit être réalisée :

${\displaystyle b>c\sin \beta \,}$.

On considère un triangle dont un côté c et les deux angles α et β qui le bordent sont connus. Le dernier angle s'obtient par complément à π et les deux autres côtés par la loi des sinus :

• ${\displaystyle a={\frac {c\sin \alpha }{\sin(\alpha +\beta )}}}$
• ${\displaystyle b={\frac {c\sin \beta }{\sin(\alpha +\beta )}}}$
• ${\displaystyle \gamma =\pi -\alpha -\beta \,}$
• ${\displaystyle S={\frac {1}{2}}c^{2}\,{\frac {\sin \alpha \sin \beta }{\sin(\alpha +\beta )}}}$

On considère un triangle dont deux angles α et β sont connus, ainsi qu'un côté non commun à ces deux angles a. Le dernier angle s'obtient par complément à π et les deux autres côtés par la loi des sinus :

• ${\displaystyle b={\frac {a\sin \beta }{\sin \alpha }}}$
• ${\displaystyle c={\frac {a\sin(\alpha +\beta )}{\sin \alpha }}}$
• ${\displaystyle \gamma =\pi -\alpha -\beta \,}$
• ${\displaystyle S={\frac {1}{2}}a^{2}\,{\frac {\sin(\alpha +\beta )\sin \beta }{\sin \alpha }}}$

Dans un triangle dont les trois côtés a, b et c sont connus, les angles s'obtiennent par la généralisation du théorème d'Al-Kashi et l'aire par le théorème de l'Huilier :

• ${\displaystyle \alpha =\arccos \left({\frac {\cos a-\cos b\cos c}{\sin b\sin c}}\right)}$,
• ${\displaystyle \beta =\arccos \left({\frac {\cos b-\cos c\cos a}{\sin c\sin a}}\right)}$,
• ${\displaystyle \gamma =\arccos \left({\frac {\cos c-\cos a\cos b}{\sin a\sin b}}\right)}$,
• ${\displaystyle E=4\arctan {\sqrt {\tan \left({\frac {p}{2}}\right)\tan \left({\frac {p-a}{2}}\right)\tan \left({\frac {p-b}{2}}\right)\tan \left({\frac {p-c}{2}}\right)}}}$ où ${\displaystyle p={\frac {1}{2}}(a+b+c)}$.

Dans un triangle où deux côtés a et b et l'angle qu'ils forment γ sont connus, le dernier côté s'obtient par le théorème d'Al-Kashi généralisé et les deux angles restants par les analogies de Napier :

• ${\displaystyle c=\arccos \left(\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma \right)}$,
• ${\displaystyle \alpha =\arctan \left\{{\frac {2\sin a}{\tan(\gamma /2)\sin(b+a)+\cot(\gamma /2)\sin(b-a)}}\right\}}$,
• ${\displaystyle \beta =\arctan \left\{{\frac {2\sin b}{\tan(\gamma /2)\sin(a+b)+\cot(\gamma /2)\sin(a-b)}}\right\}}$,
• ${\displaystyle E=\gamma +2\arctan \left\{\cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right){\frac {\cos \left({\frac {1}{2}}(a-b)\right)}{\cos \left({\frac {1}{2}}(a+b)\right)}}\right\}-\pi }$.

On considère un triangle dont un angle β, un côté adjacent c et le côté opposé b sont connus. L'angle γ s'obtient par la loi des sinus et les éléments restants par les analogies de Napier. Il n'y a de solution que si

${\displaystyle b>\arcsin(\sin c\,\sin \beta )\,}$.

Alors

• ${\displaystyle \gamma =\arcsin \left({\frac {\sin c\,\sin \beta }{\sin b}}\right)}$,
• ${\displaystyle a=2\arctan \left\{\tan \left({\frac {1}{2}}(b-c)\right){\frac {\sin \left({\frac {1}{2}}(\beta +\gamma )\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}(\beta -\gamma )\right)}}\right\}}$,
• ${\displaystyle \alpha =2\operatorname {arccot} \left\{\tan \left({\frac {1}{2}}(\beta -\gamma )\right){\frac {\sin \left({\frac {1}{2}}(b+c)\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}(b-c)\right)}}\right\}}$.
• ${\displaystyle E=\alpha +\beta +\gamma -\pi \,}$

Une autre solution existe lorsque b > c et que γ est aigu :

• ${\displaystyle \gamma =\pi -\arcsin \left({\frac {\sin c\,\sin \beta }{\sin b}}\right)}$, etc.

Dans un triangle où deux angles α et β sont connus, ainsi que le côté commun à ces angles c, le dernier angle s'obtient par la formule d'al-Kashi et les deux derniers côtés par les analogies de Napier. Les formules pour l'angle manquant et les côtés ressemblent à celles du cas de résolution complémentaire (un angle et les deux côtés adjacents connus) :

• ${\displaystyle \gamma =\arccos(\sin \alpha \sin \beta \cos c-\cos \alpha \cos \beta )\,}$,
• ${\displaystyle a=\arctan \left\{{\frac {2\sin \alpha }{\cot(c/2)\sin(\beta +\alpha )+\tan(c/2)\sin(\beta -\alpha )}}\right\}}$,
• ${\displaystyle b=\arctan \left\{{\frac {2\sin \beta }{\cot(c/2)\sin(\alpha +\beta )+\tan(c/2)\sin(\alpha -\beta )}}\right\}}$,
• ${\displaystyle E=\alpha +\beta +\arccos(\sin \alpha \sin \beta \cos c-\cos \alpha \cos \beta )-\pi \,}$.

On considère un triangle dans lequel deux angles α et β sont connus, ainsi qu'un côté opposé à l'un de ces angles a. Le côté b se trouve par la loi des sinus et les éléments restants par les analogies de Napier. On notera la similitude entre les équations ci-dessous et le cas de résolution complémentaire (un angle, le côté opposé et un côté adjacent) :

• ${\displaystyle b=\arcsin \left({\frac {\sin a\,\sin \beta }{\sin \alpha }}\right)}$,
• ${\displaystyle c=2\arctan \left\{\tan \left({\frac {1}{2}}(a-b)\right){\frac {\sin \left({\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )\right)}}\right\}}$,
• ${\displaystyle \gamma =2\operatorname {arccot} \left\{\tan \left({\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )\right){\frac {\sin \left({\frac {1}{2}}(a+b)\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}(a-b)\right)}}\right\}}$,
• ${\displaystyle E=\alpha +\beta +\gamma -\pi \,}$.

Si a est aigu et que α > β, il existe une autre solution :

• ${\displaystyle b=\pi -\arcsin \left({\frac {\sin a\,\sin \beta }{\sin \alpha }}\right)}$, etc.

Dans le cas où les trois angles sont connus, les côtés s'obtiennent par une variante du théorème d'Al-Kashi pour les angles. Les formules donnant les côtés sont semblables à celles du cas de résolution complémentaire (les trois côtés connus) :

• ${\displaystyle a=\arccos \left({\frac {\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma }}\right)}$,
• ${\displaystyle b=\arccos \left({\frac {\cos \beta +\cos \gamma \cos \alpha }{\sin \gamma \sin \alpha }}\right)}$,
• ${\displaystyle c=\arccos \left({\frac {\cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta }{\sin \alpha \sin \beta }}\right)}$.
• ${\displaystyle E=\alpha +\beta +\gamma -\pi \,}$

Fig. 1 — Détermination de la distance d'un navire par triangulation

La figure 1 ci-contre indique une méthode de détermination de la distance d'un bateau par triangulation : de deux points dont on connaît la distance l, on mesure sa direction, que ce soit l'azimut à l'aide d'une boussole, ou les angles α et β avec la ligne joignant les deux points. Les mesures effectuées, il est possible d'en déduire la distance graphiquement en reportant les éléments connus sur un graphique avec une échelle idoine. Une formule analytique peut être par ailleurs trouvée en résolvant le triangle dont on connaît deux angles et le côté commun :

${\displaystyle d={\frac {\sin \alpha \,\sin \beta }{\sin(\alpha +\beta )}}\,l={\frac {\tan \alpha \,\tan \beta }{\tan \alpha +\tan \beta }}\,l}$.

Une variante est utilisée en navigation côtière : les angles sont estimés grâce aux azimuts des amers (points de référence sur terre) vus depuis le navire.

Fig. 2 — Détermination de la hauteur d'une montagne par triangulation

Une autre possibilité est la mesure de la hauteur h d'une colline ou d'une montagne depuis une vallée en mesurant sa hauteur angulaire α et β en deux points de distance connue l. La figure 2 ci-contre donne un cas simplifié dans lequel les points de mesure et la projection du sommet sur le sol sont alignés. La hauteur de la montagne peut être déterminée graphiquement ou bien analytiquement par résolution du triangle (même cas que précédemment) :

${\displaystyle h={\frac {\sin \alpha \,\sin \beta }{\sin(\beta -\alpha )}}\,l={\frac {\tan \alpha \,\tan \beta }{\tan \beta -\tan \alpha }}\,l}$.

Dans la pratique la méthode de résolution se heurte à quelques difficultés : le terrain n'est pas forcément plat, ce qui nécessite une estimation de la pente entre les deux points ; le sommet réel n'est pas forcément observable depuis la plaine et le point le plus haut tel qu'observé varie de position entre les deux points d'observation par effet de tangence ; les différents éléments du relief doivent être triangulés de proche en proche à partir des côtes ce qui accumule les erreurs de mesure. Ainsi, la cartographie par satellite a modifié de plusieurs mètres les valeurs traditionnelles estimées de certains sommets. Malgré ces difficultés, au XIX^e siècle, Friedrich Georg Wilhelm von Struve a fait construire l'arc géodésique de Struve, une chaîne de repères géodésiques traversant l'Europe sur 2 800 km de la Norvège à la Mer Noire et dont le but était de mesurer la taille et la forme de la terre : en 1853, le scientifique obtient une mesure d'un arc de méridien terrestre à 188 m près (2×10^-5) et de l'aplatissement de la terre à 1 % près[2].

On considère deux points du globe A et B de latitudes respectives λ_A et λ_B, et de longitudes L_A et L_B. Pour déterminer leur distance on considère le triangle ABC, où C est le pôle nord. Dans ce triangle sont connus :

• ${\displaystyle a=90^{\circ }-\lambda _{\mathrm {B} }\,}$
• ${\displaystyle b=90^{\circ }-\lambda _{\mathrm {A} }\,}$
• ${\displaystyle \gamma =L_{\mathrm {A} }-L_{\mathrm {B} }\,}$

La résolution du triangle dans le cas où un angle et les deux côtés adjacents sont connus permet de conclure que

${\displaystyle \mathrm {AB} =R\arccos \left\{\sin \lambda _{\mathrm {A} }\,\sin \lambda _{\mathrm {B} }+\cos \lambda _{\mathrm {A} }\,\cos \lambda _{\mathrm {B} }\,\cos \left(L_{\mathrm {A} }-L_{\mathrm {B} }\right)\right\}}$,

où R est le rayon de la Terre. Les coordonnées doivent être converties en radians pour une application numérique, à moins que la calculatrice accepte les degrés dans les fonctions trigonométriques.

• Relations dans le triangle
  • Loi des sinus
  • Loi des cosinus
  • Loi des tangentes
  • Formule de Héron et Théorème de l'Huilier
  • Formule de Mollweide
  • Loi des cotangentes
• Triangulation
• Trigonométrie
  • Fonction trigonométrique
  • Trigonométrie sphérique
• Problème de construction d'un triangle

• Triangulateur, Résolution numérique et symbolique de triangle à partir d'un minimum de données. Avec dessin du triangle.
• Triangle calculator, site en anglais permettant la résolution numérique d'un triangle plan.
• TriSph : programme de résolution des triangles sphériques configurable à différentes applications pratiques et configuré pour la gnomonique
• Spherical trigonometry du site anglais Math World