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Point Ă  l'infini

En mathĂ©matiques, et plus particulièrement en gĂ©omĂ©trie et en topologie, on appelle point Ă  l'infini un objet adjoint Ă  l'espace que l'on veut Ă©tudier pour pouvoir plus commodĂ©ment y dĂ©finir certaines notions de limites « Ă  l'infini Â», ou encore pour obtenir des Ă©noncĂ©s plus uniformes, tels que « deux droites se coupent toujours en un point, situĂ© Ă  l'infini si elles sont parallèles Â».

Introduction

La notion de point à l'infini[1] apparait au XVe siècle dans le cadre du développement des méthodes de la perspective conique, avec l'invention de la « costruzione abbreviata » d'Alberti.

L'utilisation de ces points par les géomètres des XVIe et XVIIe siècles (par exemple Maurolico ou da Vignola en Italie, Stevin en Hollande, Desargues et Pascal en France), puis la systématisation de leur usage au XIXe, a conduit à la création d'une discipline mathématique : la géométrie projective.

La généralisation du langage géométrique dans les mathématiques du XXe siècle, et la possibilité de compactifier les corps des réels et des complexes par l'ajout d'un élément à l'infini a conduit à son tour à l'utilisation de la terminologie « point à l'infini » dans d'autres branches des mathématiques que celles directement dérivées de la géométrie.

En géométrie projective

La notion de point à l'infini, et plus généralement, d'élément géométrique à l'infini (droite à l'infini, plan à l'infini, hyperplan à l'infini), n'est pas une notion purement projective, mais elle permet de passer de l'affine au projectif, et du projectif à l'affine, et a un sens dans un espace affine (droite, plan, etc.) complété en un espace projectif.

Ainsi

Réciproquement en distinguant un point quelconque d'une droite projective, que l'on appelle alors point à l'infini, on obtient une droite affine (les autres points de la droite) ; en distinguant une droite quelconque d'un plan projectif, dite alors droite à l'infini, on obtient un plan affine (le plan sans cette droite, et les points de cette droite), et ceci se généralise à la dimension 3 et aux dimensions supérieures.

On peut développer la notion de point à l'infini sur tout corps commutatif infini :

  • Lorsque le corps de base est â„ť, la droite affine est la droite rĂ©elle usuelle. Cette droite augmentĂ©e du point Ă  l'infini forme une courbe fermĂ©e, appelĂ©e « droite projective rĂ©elle » et notĂ©e P1(â„ť) (voir croquis).
  • La droite projective rĂ©elle P1(â„ť) est la droite rĂ©elle complĂ©tĂ©e par un point Ă  l'infini.
    La droite projective réelle P1(ℝ) est la droite réelle complétée par un point à l'infini.
  • La droite projective complexe P1(â„‚) est le plan complexe complĂ©tĂ© par un point Ă  l'infini.
    La droite projective complexe P1(ℂ) est le plan complexe complété par un point à l'infini.

Autres exemples

Compactifié d'Alexandrov

Note

  1. Pour la variĂ©tĂ© de la problĂ©matique concernant l'usage de l'infini, on pourra consulter l'article « Infini Â».

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