Physique semi-classique

Elle est l’archétype des approximations semi classiques basées sur le développement en puissances de la constante de Planck[4]. Partant d’une redéfinition de la fonction d’onde

${\displaystyle \psi ({\vec {r}},t)=A({\vec {r}},t)\exp \left[{\frac {i}{\hbar }}S({\vec {r}},t)\right],}$

où ${\displaystyle A({\vec {r}},t)}$ est l'amplitude et ${\displaystyle S({\vec {r}},t)}$ l'action du système.

On effectue un développement de l’exponentielle (calcul à une dimension pour simplifier):

${\displaystyle \psi (x)\approx e^{{\frac {i}{\hbar }}\left[S_{0}(x)+{\hbar \over i}S_{1}(x)+\left({\frac {\hbar }{i}}\right)^{2}S_{2}(x)+\cdots \right]},}$

que l'on porte dans l'équation de Schrödinger

${\displaystyle \left[-{\hbar ^{2} \over 2m}{d^{2} \over dx^{2}}+V(x)\right]\psi (x)=E\,\psi (x).}$

On obtient en regroupant les termes du même ordre en ${\displaystyle \hbar }$ :

${\displaystyle {\hbar ^{0}\left[{\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{0}(x)}{dx}}\right)^{2}+V(x)-E\right]+\hbar ^{1}\left[-{\frac {i}{2m}}{\frac {d^{2}S_{0}(x)}{dx^{2}}}+{\frac {1}{m}}{\frac {dS_{0}(x)}{dx}}{\frac {dS_{1}(x)}{dx}}\right]+O(\hbar ^{2})+...=0}}$

La méthode BKW de base consiste à ne considérer que le terme en ${\displaystyle \hbar ^{0}}$, soit

${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{0}(x)}{dx}}\right)^{2}+V(x)-E=0,}$

Dont la solution formelle donne l'approximation de la fonction d'onde

${\displaystyle \psi (x)=A\exp \left(\pm {\frac {i}{\hbar }}\int _{x}{\sqrt {2m(E-V(x'))}}dx'\right).}$

Lorsque ${\displaystyle E-V(x)<0}$, l'expression sous le radical devient imaginaire et la fonction d'onde devient une fonction réelle exponentiellement décroissante.

Une des premières utilisations de la méthode BKW a été la théorie la radioactivité ${\displaystyle \alpha }$, modélisée par la probabilité de transmission d'une particule à travers une barrière de potentiel (pour une analyse récente, voir la référence en anglais[5]). Le coefficient de transmission T se déduit de la fonction d'onde BKW à l'ordre ${\displaystyle \hbar ^{0}}$ :

${\displaystyle \ln T\approx -2\int \limits _{\text{Barrière}}{\sqrt {\frac {2m(V(x)-E)}{\hbar ^{2}}}}\mathrm {d} x.}$

La mécanique quantique est habituellement présentée dans la représentation de Schrödinger, où l'état du système est décrit par une fonction d'onde dans l'espace des positions ou dans l'espace des moments. La mécanique quantique dans l'espace des phases permet d'aborder plus explicitement l'approximation semi-classique, en raison des fortes analogies avec le formalisme de la mécanique hamiltonienne : l'état du système est décrit par une fonction de quasi-probabilité ${\displaystyle f(x,p)}$, en général la fonction de Wigner[6].

Les valeurs moyennes des observables se calculent quasi-classiquement :

${\displaystyle {\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }dp\int _{-\infty }^{\infty }dx\;A(x,p)f(x,p).}}$

La fonction (ou distribution de Wigner) évolue selon une équation proche de celle de Liouville

${\displaystyle {\frac {df(x,p,t)}{dt}}=-\{\{f(x,p,t),H(x,p)\}\}}$

où les symboles {{⋅,⋅}} représente le crochet de Moyal ; lorsque l'énergie potentielle ne dépend pas des vitesses (cas très fréquent), cette expression générale s'écrit[6] :

${\displaystyle {\frac {df(x,p,t)}{dt}}\,=\,-{\frac {\partial H}{\partial p}}{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial H}{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial p}}-{\frac {h^{2}}{24}}{\frac {\partial ^{3}H}{\partial x^{3}}}{\frac {\partial ^{3}f}{\partial p^{3}}}+O(h^{4})}$

Si les termes d'ordre ${\displaystyle h^{2}}$ et supérieur sont nuls ou négligeables, l'équation d'évolution se ramène au crochet de Poisson de la mécanique classique :

${\displaystyle {\frac {df(x,p,t)}{dt}}=-\{f(x,p,t),H(x,p)\}\;;}$

soit parce que la limite ${\displaystyle h\rightarrow 0}$ est une approximation valide (voir infra : modèle de Thomas-Fermi) ; soit parce que les dérivées ${\displaystyle {\frac {\partial ^{n}H}{\partial x^{n}}}}$ sont nulles pour ${\displaystyle n\geq 2}$ (voir infra : oscillateur harmonique)

L'oscillateur harmonique a une énergie potentielle ${\displaystyle V(x)={\frac {1}{2}}m\,w^{2}x^{2}}$, donc l'évolution quantique de toutes les distributions de Wigner ${\displaystyle f(x,p,t)}$ est purement classique (équation de Liouville). Classiquement, cette équation décrit l'évolution d'une famille d'oscillateurs dont les conditions initiales sont f(x,p,0) ; peut-on donc, dans ce cas, décrire l'évolution de « tous » les états d'un oscillateur quantique en les remplaçant par des ensembles de particules classiques déterminées par la loi de probabilité f ?

La fonction de Wigner d'un état quantique quelconque peut être négative, mais son intégrale est toujours égale à l'unité.

Deux spécificités de la mécanique quantique doivent être prises en compte :

• d'une part, la fonction de Wigner est une fonction de « quasi-probabilité », elle a la plupart des propriétés de fonctions de probabilité, sauf qu'elle peut comporter des domaines où elle est négative, ce qui ne permet pas son interprétation en termes de probabilité pour des particules classiques ;
• d'autre part, le principe d'exclusion de Pauli limite la densité maximum dans l'espace des phases : il ne peut y avoir plus de deux particules (fermions de spin 1/2) par volume élémentaire de l'espace des phases : ${\displaystyle f(x,p,t)\,\Delta x\Delta p<{\frac {2}{\hbar }}\,\Delta x\Delta p.}$ Cependant, pour un système dont l'hamiltonien ne dépend pas du temps, le théorème de Liouville assure que si les conditions initiales vérifient cette propriété, elle sera conservée dans toute l'évolution future du système.

La fonction de Wigner d'un état cohérent est partout positive et de forme gaussienne.

Une famille d'état quantiques de l'oscillateur est particulièrement importante par ses propriétés et par ses applications, ce sont les états cohérents : états fondamentaux de l'oscillateur déplacés dans l'espace des phases ; leur fonction de Wigner est gaussienne et strictement positive ; ce sont des états quantiques qui évoluent comme un ensemble de particules classiques (pour une revue, voir la référence en anglais [7]).

On pourra qualifier de « semi-classiques » les théories basées sur une approximation qui limite à l'ordre 0 (ou 2) en h le développement de l'équation d'évolution de la fonction de Wigner, qui respectent les deux contraintes ci-dessus.

Les états cohérents sont des états « quasi-classiques » car l'unique caractéristique qui les distingue des états classiques est la contrainte du maximum de densité dans l'espace des phases.

Le modèle de Thomas Fermi[8] est basé sur 2 hypothèses de base : 1) les états d'énergie quantifiés (discrets) du système sont suffisamment denses pour qu'on puisse les remplacer par un continuum (voir infra méthode de lissage) ; 2) on ne prend en compte que la contrainte quantique de la limitation de la densité de fermions dans l'espace des phases (ordre 0 en puissance de h).

A l'état fondamental, dans l'espace des phases, tous les états possibles en moments (impulsions) sont remplis jusqu'à un niveau appelé niveau de Fermi ${\displaystyle p_{F}}$. La limite maximale à la densité dans l'espace des phases relie le moment de Fermi à la densité dans l'espace des positions (densité spatiale)

${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )={\frac {8\pi }{3h^{3}}}p_{\rm {F}}^{3}(\mathbf {r} ),}$

ainsi que la densité locale d'énergie cinétique

${\displaystyle \tau ({\vec {r}})={\frac {3h^{2}}{40m_{e}}}\left({\frac {3}{\pi }}\right)^{\frac {2}{3}}[\rho ({\vec {r}})]^{5/3}.}$

L'énergie potentielle dépend du type d'interaction entre les particules du système .

Pour les électrons dans les atomes, il s'agit uniquement de l'interaction coulombienne d'une part l'attraction par les protons du noyau et d'autre part la répulsion électrostatiques entre eux (voir L'équation de Thomas-Fermi pour l'atome dans l'article détaillé).

Le modèle de Thomas-Fermi et ses dérivés[9] est très utilisé pour l'étude du noyau atomique; contrairement aux électrons, l'interaction entre les nucléons n'est pas connue exactement ; on utilise des interactions effectives, notamment celles de Skyrme[10] qui dépendent explicitement de la densité et les rendent particulièrement simples à utiliser dans ce cas.

Le modèle de Thomas-Fermi se situe dans l'approche globale de la théorie de la fonctionnelle de la densité.

Les systèmes quantiques se caractérisent par leurs niveaux d'énergie quantifiés, structurés en couches ; lorsque le système comporte de nombreux fermions, d'une part la densité des niveaux augmente et tend vers un continuum[11] ; d'autre part, les propriétés globales du système sont principalement déterminées par les particules situées sur les couches les plus énergétiques (e.g. électrons de valence en physique atomique ou en physique du solide, nucléons les plus énergétiques dans le modèle en couches du noyau).

V.Strutinsky a introduit une méthode pour séparer les caractéristiques globales du système en une composante « lissée » qui varie continûment avec le nombre de particules et une correction quantique qui prend surtout en compte les propriétés des particules dans les couches les plus hautes (souvent incomplètes).

Le spectre en énergie du système peut être décrit par une somme discrète de distributions de Dirac pour les niveaux d'énergie ${\displaystyle \epsilon _{i}}$; à une énergie totale donnée E , correspond une densité d'énergie

${\displaystyle g(E)=\sum _{i}\delta (E-\epsilon _{i}).}$

La composante moyenne de cette densité est obtenue par un élargissement (en anglais, le mot "smearing", barbouillage est utilisé) des niveaux d'énergie. Ceci est obtenu par un produit de convolution de la densité d'énergie par une fonction continue f :

${\displaystyle {\bar {g}}(E)={\frac {1}{\gamma }}\int dE'\,g(E')f({\frac {E-E'}{\gamma }}).}$

La fonction f est à support borné, paramétrée par le facteur phénoménologique ${\displaystyle \gamma }$ ; généralement elle est de forme une gaussienne.

Par différence on déduit la correction purement quantique :

${\displaystyle \delta (E)=g(E)-{\bar {g}}(E)}$.

On trouvera dans la référence [11], les détails de la méthode et son application à plusieurs systèmes. La méthode de Strutinsky est utilisée en physique nucléaire[12] ; en particulier pour le calcul des barrières de fission au-delà de l'approximation de la goutte liquide [13].

• M. Brack et R.K. Bhaduri, Semiclassical Physics, CRC Press, 2003 (https://doi.org/10.1201/9780429502828)
• R. Resnick et R. Eisberg, Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles, John Wiley & Sons, 1985 (ISBN 978-0-471-87373-0, lire en ligne)
• P.A.M. Dirac, Principles of Quantum Mechanics, Clarendon Press, 1981 (ISBN 978-0-19-852011-5)
• W. Pauli, General Principles of Quantum Mechanics, Springer, 1980 (ISBN 3-540-09842-9)
• R.P. Feynman, R.B. Leighton et M. Sands, Feynman Lectures on Physics, vol. 3, Addison-Wesley, 1965 (ISBN 0-201-02118-8)
• C.B. Parker, McGraw-Hill Encyclopaedia of Physics, 2nd, 1994 (ISBN 0-07-051400-3, lire en ligne)