Approximation BKW

Notons ${\displaystyle \psi }$ la fonction d'onde, solution stationnaire de l'équation de Schrödinger, d'une particule de masse ${\displaystyle m}$ se déplaçant dans le potentiel ${\displaystyle V(R)}$ :

${\displaystyle \left[-{\hbar ^{2} \over 2m}{d^{2} \over dR^{2}}+V(R)\right]\psi (R)=E\psi (R).}$

L'approximation BKW consiste à écrire la fonction d'onde sous la forme

${\displaystyle \psi ^{\rm {BKW}}(R)={C_{+} \over {\sqrt {|p(R)|}}}\exp \left[{i \over \hbar }\int p\right]+{C_{-} \over {\sqrt {|p(R)|}}}\exp \left[-{i \over \hbar }\int p\right]}$

où ${\displaystyle p(R)={\sqrt {2m(E-V(R))}}}$ est l'impulsion locale de la particule.

Exemple d'approximation WKB. Le potentiel est représenté en haut; la fonction d'onde approximée, pour une valeur possible (mais non précisée ici) de l'énergie, en bas

Notons le sens physique simple :

1. Dans la région classiquement permise plus la particule va vite, plus sa probabilité de présence diminue. En effet là où ${\displaystyle E>V(R)}$, la probabilité de présence ${\displaystyle |\psi |^{2}}$ sera proportionnelle à ${\displaystyle 1 \over p}$.
2. Dans la région classiquement interdite la probabilité de présence ${\displaystyle |\psi |^{2}}$ sera exponentiellement décroissante en ${\textstyle \exp \left[-{i \over \hbar }\int p\right]}$. En effet, là où ${\displaystyle E<V(R)}$, on a alors ${\displaystyle p(R)=i{\sqrt {|2m(E-V(R))|}}}$ et le terme exponentiellement croissant sera en général divergent et donc non physique. La normalisation de la fonction d'onde impose alors ${\displaystyle C_{+}=0}$.

Le domaine de validité de l'approximation est le suivant

1. ${\displaystyle \left|{d{\bar {\lambda }} \over dR}\right|\ll 1}$ où ${\displaystyle {\bar {\lambda }}(R)=\hbar /p(R)}$ est la longueur d'onde de de Broglie dite réduite (divisée par 2π).
2. Une seconde condition, qui est souvent vérifiée, vient s'ajouter à celle-ci mais elle est rarement utilisée ${\displaystyle \left|\int {1 \over {\bar {\lambda }}(R)}\left({d{\bar {\lambda }} \over dR}\right)^{2}\right|^{2}\ll 1.}$

La première condition peut s'interpréter, en faisant apparaitre le produit ${\displaystyle V'(R){\bar {\lambda }}(R)}$, comme une condition adiabatique, i.e. comme le fait que le potentiel ${\displaystyle V}$ doit changer lentement sur des distances comparables à longueur d'onde ${\displaystyle {\bar {\lambda }}}$ de la particule pour que celle-ci ait le temps de s'adapter au nouveau potentiel lors du mouvement.

La seconde condition est plus difficile à interpréter mais elle indique qu'il faut être prudent si le potentiel V décroit trop lentement à l'infini.

En n'utilisant que ${\displaystyle \sigma _{0}}$ dans ${\displaystyle \psi }$ on obtient immédiatement

${\displaystyle -{\sigma '}_{0}^{2}(R)+i\hbar \sigma ''_{0}(R)+p^{2}(R)=0.}$

L'ordre 0, qui s'appelle l'approximation classique, consiste à ne conserver aucun terme en ${\displaystyle \hbar }$. On obtient ${\displaystyle \sigma _{0}(R)=\pm \int p}$ et donc

${\displaystyle \psi (R)\approx e^{\pm {\frac {i}{\hbar }}\int p}.}$

L'ordre suivant est l'approximation B.K.W. proprement dite.

En reprenant la formule précédente, avec ${\displaystyle \sigma _{0}+{\frac {\hbar }{i}}\sigma _{1}}$ au lieu de ${\displaystyle \sigma _{0}}$, et en ne gardant que les termes en ${\displaystyle \hbar }$ on obtient immédiatement ${\displaystyle 2\sigma '_{0}\sigma '_{1}+\sigma ''_{0}=0.}$

En utilisant la valeur de ${\displaystyle \sigma _{0}(R)=\pm \int p(R)}$, on en déduit ${\displaystyle \sigma _{1}(R)=cte-{\frac {1}{2}}\ln |p(R)|}$ et finalement avec les deux signes possibles de ${\displaystyle \sigma _{0}}$:

${\displaystyle \psi ^{\rm {BKW}}(R)={C_{1} \over {\sqrt {|p(R)|}}}\exp \left({i \over \hbar }\int p\right)+{C_{2} \over {\sqrt {|p(R)|}}}\exp \left(-{i \over \hbar }\int p\right).}$

Le calcul à l'ordre 2 fournit

${\displaystyle \psi (R)={C'_{1} \over {\sqrt {|p(R)|}}}\left[1-{im\hbar \over 4}{F(R) \over p^{3}(R)}-{im^{2}\hbar \over 8}\int {F^{2} \over p^{5}}\right]\exp \left({i \over \hbar }\int p\right)+{C'_{2} \over {\sqrt {|p(R)|}}}\left[1+{im\hbar \over 4}{F(R) \over p^{3}(R)}+{im^{2}\hbar \over 8}\int {F^{2} \over p^{5}}\right]\exp \left(-{i \over \hbar }\int p\right)}$

où ${\displaystyle F=-{dV \over dR}}$ désigne la force à laquelle est soumise la particule. Cette formule est rarement utilisée, mais en comparant avec la formule BKW, on voit que l'approximation BKW sera valide dans le cas où ${\displaystyle \left|{m\hbar F(R) \over p^{3}(R)}\right|\ll 4}$ et ${\displaystyle \left|m^{2}\hbar \int {F^{2}(R) \over p^{5}(R)}\right|\ll 8.}$

On préfère souvent réécrire ces conditions en utilisant ${\displaystyle F=pp'/m}$ ce qui amène aux conditions données précédemment qui sont :

${\displaystyle \left|{d{\bar {\lambda }} \over dR}\right|\ll 4{\hbox{ et }}\left|\int {1 \over {\bar {\lambda }}(R)}\left({d{\bar {\lambda }} \over dR}\right)^{2}\right|^{2}\ll 4/\pi .}$

En utilisant les développements asymptotiques de la fonction d'Airy il est possible de les raccorder aux fonctions BKW de part et d'autre d'un point tournant.

Les raccordements de deux fonctions BKW s'ensuivent et sont donnés par les lois suivantes.

1. La fonction ${\displaystyle {C \over 2{\sqrt {|p(R)|}}}\exp \left(-{1 \over \hbar }\left|\int _{R_{C}}^{R}p(R')dR'\right|\right)}$ dans la région ${\displaystyle V(R)>E}$ devient ${\displaystyle {C \over {\sqrt {p(R)}}}\cos \left({1 \over \hbar }\left|\int _{R_{C}}^{R}p(R')dR'\right|-{\pi \over 4}\right)}$ dans la région ${\displaystyle V(R)<E.}$
2. La fonction ${\displaystyle {C \over {\sqrt {p(R)}}}\exp \left({i \over \hbar }\left|\int _{R_{C}}^{R}p(R')dR'\right|+{i\pi \over 4}\right)}$ dans la région ${\displaystyle V(R)<E}$ devient ${\displaystyle {C \over {\sqrt {|p(R)|}}}\exp \left({1 \over \hbar }\left|\int _{R_{C}}^{R}p(R')dR'\right|\right)}$ dans la région ${\displaystyle V(R)>E.}$

On remarquera qu'il est préférable de ne pas extrapoler d'autres formules car les termes exponentiellement croissant et exponentiellement décroissant ne peuvent en général coexister dans la région classiquement interdite.

On note aussi la formule de l'approximation semi-classique uniforme (ASU) valable dans toutes les régions, donnée par :

${\displaystyle \psi ^{\rm {ASU}}(R)={C_{4} \over \pi }\left[{3\hbar ^{2} \over 2p^{3}}\int _{R_{C}}^{R}p\right]^{1/6}{\rm {Ai}}\left[\left({3 \over 2\hbar }\int _{R_{C}}^{R}p\right)^{2/3}\right],}$

avec Ai, la fonction d'Airy.

• Michel le Bellac, Physique quantique, EDP Sciences/CNRS Editions, 2007 (2nde édition), (ISBN 978-2-86883-998-5), chapitre 12: méthodes semi-classiques
• C. Cohen-Tannoudji, B. Diu et F. Laloë, Mécanique quantique [détail de l’édition]
• Albert Messiah, Mécanique quantique [détail des éditions]
• Lev Landau et Evgueni Lifchits, Physique théorique, t. 3 : Mécanique quantique [détail des éditions]
• David J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, Pearson Education International, 2005, (ISBN 0-13-191175-9), Chapitre 8: the WKB approximation

• (en) Harald Siegfried Friedrich, Theoretical Atomic Physics, Springer, 2005, 3^e éd., 506 p. (ISBN 978-3-540-25644-1)
• André Voros, Spectre de l'équation de Schrödinger et méthode BKW : notes de cours (Orsay - 1980/1981), Publications Mathématiques de l'Université Paris-Sud Orsay, septembre 1981 (lire en ligne)
• André Voros, « De la théorie BKW exacte vers la théorie des perturbations singulières (II) », dans T. Aoki, T. Koike, H. Majima, Y. Okada, Y. Takei et N. Tose, International Conference on Algebraic Analysis of Differential Equations (from Microlocal Analysis to Exponential Asymptotics), in honor of Prof. Takahiro Kawai on the occasion of his sixtieth birthday (invitation), Kyoto University, Kyoto, Japan, July 7-14 2005, Berlin, Springer-Verlag (arXiv https://arxiv.org/abs/math-ph/0603043 math-ph/0603043)

• Physique semi-classique
• Théorie des perturbations