Opérateur elliptique

Un opérateur différentiel L d'ordre m dans un domaine ${\displaystyle \Omega }$ de Rⁿ défini par

${\displaystyle Lu=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }u\,}$

(où ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},...,\alpha _{n})}$ est multi-indice et ${\displaystyle \partial ^{\alpha }u=\partial ^{\alpha _{1}}\cdots \partial ^{\alpha _{n}}u}$) est dit elliptique si pour tout x dans ${\displaystyle \Omega }$ et pour tout ${\displaystyle \xi }$ dans Rⁿ non nul, on a

${\displaystyle \sum _{|\alpha |=m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }\neq 0,\,}$

où ${\displaystyle \xi ^{\alpha }=\xi _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \xi _{n}^{\alpha _{n}}}$.

Dans beaucoup d'applications, cette condition n'est pas assez forte. À la place, une condition d'ellipticité uniforme doit être imposée pour les opérateurs de degré {{{1}}}:

${\displaystyle (-1)^{k}\sum _{|\alpha |=2k}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }>C|\xi |^{2k},\,}$

où C est une constante positive. À noter que la condition d'ellipticité ne dépend que des termes de plus haut degré[1].

Un opérateur non-linéaire

${\displaystyle L(u)=F(x,u,(\partial ^{\alpha }u)_{|\alpha |\leq m})\,}$

est dit elliptique si le premier terme de sa série de Taylor par rapport à u ainsi que toutes ses dérivées en tout point est un opérateur linéaire elliptique.

Exemple 1

L'opposé de l'opérateur laplacien dans R^d défini par

${\displaystyle -\Delta u=-\sum _{i=1}^{d}\partial _{i}^{2}u\,}$

est un opérateur uniformément elliptique. Cet opérateur intervient souvent en électrostatique. Si ρ est une densité de charges dans une région Ω, le potentiel Φ est solution de

${\displaystyle -\Delta \Phi =4\pi \rho .}$

Exemple 2

Étant donné une fonction A à valeurs matricielles telle que A(x) soit symétrique définie positive pour tout x, et qui a pour composantes a^ij, l'opérateur

${\displaystyle Lu=-\partial _{i}\left(a^{ij}(x)\partial _{j}u\right)+b^{j}(x)\partial _{j}u+cu\,}$

est elliptique. C'est la forme la plus générale d'opérateurs linéaire sous forme divergence d'ordre 2 qui est elliptique. L'opérateur laplacien est un cas particulier correspondant à A = I. Ces opérateurs interviennent en électrostatique pour les milieux polarisés.

Exemple 3

Si p est un nombre positif ou nul, le p-Laplacien est un opérateur elliptique non-linéaire définie par

${\displaystyle L(u)=-\sum _{i=1}^{d}\partial _{i}\left(|\nabla u|^{p-2}\partial _{i}u\right).\,}$

Un opérateur similaire intervient en dynamique des glaciers. D'après la loi de flux de Glen, il est donné par

${\displaystyle \tau _{ij}=B\left(\sum _{k,l=1}^{3}\left(\partial _{l}u_{k}\right)^{2}\right)^{-{\frac {1}{3}}}\cdot {\frac {1}{2}}\left(\partial _{j}u_{i}+\partial _{i}u_{j}\right)\,}$

pour une certaine constante B. La vitesse du glacier est alors solution du système elliptique non-linéaire

${\displaystyle \sum _{j=1}^{3}\partial _{j}\tau _{ij}+\rho g_{i}-\partial _{i}p=Q,\,}$

où ρ est la densité de la glace, g le vecteur d'accélération de la gravité, p la pression et Q un terme source.

Soit L un opérateur elliptique d'ordre 2k dont les coefficients sont 2k continûment dérivables. Le problème de Dirichlet associé à L est, étant donné une fonction f et des conditions aux bords appropriées, de trouver une fonction u solution de Lu = f et qui vérifie ces conditions aux bords. L'existence d'une telle solution s'obtient grâce à l'inégalité de Gårding (en) et le théorème de Lax-Milgram, mais seulement au sens faible : u appartient à l'espace de Sobolev H^k.

Le théorème de régularité elliptique affirme que, si f est de carré intégrable, alors u va admettre 2k dérivées faibles de carré intégrable. En particulier, si f est une fonction lisse, alors u en est une également.

Tout opérateur différentiel ayant cette propriété est appelé opérateur hypoelliptique ; ainsi, tout opérateur elliptique est hypoelliptique. Cette propriété implique également que toute solution fondamentale d'un opérateur elliptique est infiniment dérivable sur tout voisinage ne contenant pas l'origine.

Comme illustration, supposons que f soit une fonction satisfaisant les équations de Cauchy-Riemann. Ces dernières formant un opérateur elliptique, cela implique que f est lisse.

• (en) L. C. Evans, Partial differential equations, vol. 19, Providence, RI, American Mathematical Society, coll. « Graduate Studies in Mathematics », 2010, 2^e éd. (1^re éd. 1998), 749 p. (ISBN 978-0-8218-4974-3, MR 2597943, lire en ligne)
• D. Gilbarg et N. S. Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order, vol. 224, Berlin, New York, Springer-Verlag, coll. « Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften », 1983, 2^e éd. (1^re éd. 1977) (ISBN 978-3-540-13025-3, MR 737190, lire en ligne)