p-Laplacien

En mathématiques, le p-Laplacien, ou l'opérateur de p-Laplace, est un opérateur différentiel partiel elliptique quasi-linéaire du second ordre. C'est une généralisation non linéaire de l'opérateur laplacien, où $p$ , usuellement fixé à 2, est autorisé à s'étendre sur $1<p<\infty$ . Il s'écrit comme

\Delta _{p}u:=\nabla \cdot (|\nabla u|^{p-2}\nabla u).

où le $|\nabla u|^{p-2}$ est défini par :

\quad |\nabla u|^{p-2}=\left[\left({\frac {\partial u}{\partial x_{1}}}\right)^{2}+\cdots +\left({\frac {\partial u}{\partial x_{n}}}\right)^{2}\right]^{\frac {p-2}{2}}

Dans le cas particulier où $p=2$ , cet opérateur se réduit au laplacien classique[1]. En général, les solutions d'équations impliquant le p-Laplacien n'ont pas de dérivées du second ordre au sens classique, donc les solutions à ces équations doivent être comprises comme des solutions faibles. Par exemple, on dit qu'une fonction u appartenant à l'espace de Sobolev $W^{1,p}(\Omega )$ est une solution faible de

\Delta _{p}u=0{\mbox{ dans }}\Omega

si pour chaque fonction test $\varphi \in C_{0}^{\infty }(\Omega )$ on a

\int _{\Omega }|\nabla u|^{p-2}\nabla u\cdot \nabla \varphi \,\mathrm {d} x=0

où $\cdot$ désigne le produit scalaire standard.

Opérateur

L'opérateur p-laplacien pour une fonction $u$ définie sur un espace de dimension $n$ s'écrit :

{\begin{aligned}\Delta _{p}u=\nabla \cdot (|\nabla u|^{p-2}\nabla u)&=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left[\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial u}{\partial x_{j}}}\right)^{2}\right]^{\frac {p-2}{2}}{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}\\&=|\nabla u|^{p-4}\left(|\nabla u|^{2}\Delta u+(p-2)\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial u}{\partial x_{j}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\right).\end{aligned}}

Les solutions sont appelées fonctions p-harmoniques.

Cas particuliers

p = 1

L'opérateur 1-laplacien est l'opposé de l'opérateur de courbure moyenne :

\Delta _{1}u=\operatorname {div} \left({\frac {\nabla u}{|\nabla u|^{1}}}\right)=-H

p = 2

L'opérateur 2-laplacien est le laplacien classique :

\Delta _{2}u=\Delta u=\operatorname {div} (\nabla u)

p = n

L'opérateur n-laplacien est un cas particulier, car il est invariant par toute transformation de Möbius. En effet, la norme ${\textstyle \int |\nabla u|^{n}}$ est invariant par toute transformation conforme.

Ce cas est important dans l'étude des transformations quasi conformes.

p infini

L'équation de ∞-Laplace se réduit à[2]:

\Delta _{\infty }u=\nabla u\cdot \left[(Hu)\nabla u\right]=\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial u}{\partial x_{j}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}

ou $Hu$ désigne la matrice hessienne de $u$ . Cette équation a des applications en traitement d'images.

Formulation variationnelle

La solution faible de l'équation de p-Laplace avec une condition aux limites de Dirichlet

{\begin{cases}-\Delta _{p}u=f&{\mbox{ dans }}\Omega \\u=g&{\mbox{ sur }}\partial \Omega \end{cases}}

dans un domaine $\Omega \subset \mathbb {R} ^{N}$ est celle qui minimise la fonctionnelle énergie

J(u)={\frac {1}{p}}\,\int _{\Omega }|\nabla u|^{p}\,dx-\int _{\Omega }f\,u\,\mathrm {d} x

parmi toutes les fonctions de l'espace de Sobolev $W^{1,p}(\Omega )$ satisfaisant les conditions aux limites au sens de la trace[1]. Dans le cas particulier $f=1,g=0$ et $\Omega$ est une boule de rayon 1, la solution faible du problème ci-dessus peut être explicitement calculée et est donnée par

u(x)=C\,\left(1-|x|^{\frac {p}{p-1}}\right)

où $C$ est une constante appropriée dépendant uniquement de la dimension $N$ et de $p$ . On remarque que pour $p>2$ la solution n'est pas deux fois dérivable au sens classique.

Notes

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « P-Laplacian » (voir la liste des auteurs).

Evans, pp 356.
Lindqvist 2017

Sources

Lawrence C. Evans, « A New Proof of Local $C^{1,\alpha }$ Regularity for Solutions of Certain Degenerate Elliptic P.D.E. », Journal of Differential Equations, vol. 45,‎ 1982, p. 356–373 (DOI 10.1016/0022-0396(82)90033-x , MR 672713)
John L. Lewis, « Capacitary functions in convex rings », Archive for Rational Mechanics and Analysis, vol. 66, n^o 3,‎ 1977, p. 201–224 (DOI 10.1007/bf00250671, Bibcode 1977ArRMA..66..201L, MR 0477094, S2CID 120469946)

Références

(en) Olga Aleksandrovna Ladyzhenskaya, Vsevold Solonnikov et Nina Uralt'seva, Linear and quasi-linear equations of parabolic type, vol. 23, Providence, RI, American Mathematical Society, coll. « Translations of Mathematical Monographs », 1968, XI+648 (ISBN 9780821886533, MR 0241821, zbMATH 0174.15403, lire en ligne).
(en) K. Uhlenbeck, « Regularity for a class of non-linear elliptic systems », Acta Mathematica, vol. 138,‎ 1977, p. 219–240 (DOI 10.1007/bf02392316 , MR 0474389)
(en) Peter Lindqvist, Notes on the p-Laplace equation (second edition) (lire en ligne)
Juan Manfredi, Strong comparison Principle for p-harmonic functions

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