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Noyau de sommabilité

En analyse mathématique, un noyau de sommabilité est une famille de fonctions intégrables, vérifiant certaines conditions suffisantes qui en font une unité approchée.

Définition

Soit l'espace euclidien [1] ou le cercle unité [2] - [3] (ou [4]), muni de sa mesure de Lebesgue (de masse 1, dans le cas du cercle).

Un noyau de sommabilité sur est une famille [5] de fonctions intégrables sur telle que :

  1. pour tout fermé de ne contenant pas , .

Une variante[6] est de considérer une suite de fonctions et de remplacer, dans le point 3, par .

Si les fonctions sont positives, la condition 2 est clairement redondante.

Exemples

Sur , si est une fonction intégrable et d'intégrale 1, la famille définie par est un noyau de sommabilité[1] - [7].

  • Un exemple[1] est le noyau de Poisson sur , qui correspond à la fonction .
  • Un autre[8] est le noyau de Gauss-Weierstrass sur , qui correspond à la fonction gaussienne .
  • On peut en construire bien d'autres : voir par exemple « Intégrale impropre ».

Sur le cercle :

  • le noyau de Dirichlet n'est pas un noyau de sommabilité () mais sa moyenne de Cesàro, le noyau de Fejér, en est un[9].
  • le noyau de Landau (qui est une suite) et le noyau de Poisson (réindexé par avec [10]) sont des noyaux de sommabilité.
  • le noyau de Gauss-Weierstrass sur est le noyau de sommabilité donné par[11] : .

Approximation par convolution

La principale[12] propriété des noyaux de sommabilité est la suivante.

Théorème Pour tout noyau de sommabilité (sur ou le cercle),

, aux sens suivants :
  1. uniformément sur K, si est mesurable et bornée et si K est un compact en tout point duquel est continue[13] ;
  2. uniformément sur X, si est continue et (si ) nulle à l'infini[1] - [11] - [14] ;
  3. dans Lp(X) (1 ≤ p < ∞), si est p-intégrable[1] - [11] - [15].

Notes et références

  1. Cerda 2010, p. 54-55.
  2. Katznelson 2004, p. 10-13.
  3. Cerda 2010, p. 55-58.
  4. Montgomery 2014, p. 130-131.
  5. Cerda 2010 parle d'une famille indexée par une partie de à laquelle est adhérent.
  6. Katznelson 2004 et Montgomery 2014.
  7. Rudin 1991, p. 173, § II.6.31, réserve le nom d'« identité approchée sur » aux familles construites de cette façon, avec même fonction test positive.
  8. Cerda 2010, p. 72-73.
  9. Cerda 2010, p. 58.
  10. Katznelson 2004, p. 16.
  11. Igari 2000, p. 195.
  12. À tel point que Laurent Claessens, Le Frido, vol. 3, TheBookEdition, (lire en ligne), p. 1151, appelle « unités approchées » les noyaux de sommabilité.
  13. Lang 2012, p. 228-229 et, dans le cas où ce compact est un singleton, Claessens 2016, p. 1151-1152.
  14. Claessens 2016, p. 1151, suppose seulement que est uniformément continue et bornée.
  15. Claessens 2016, p. 1151.

Bibliographie

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