Noyau de sommabilité

En analyse mathématique, un noyau de sommabilité est une famille de fonctions intégrables, vérifiant certaines conditions suffisantes qui en font une unité approchée.

Définition

Soit $X$ l'espace euclidien $\mathbb {R} ^{n}$ [1] ou le cercle unité $\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z}$ [2] - [3] (ou $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ [4]), muni de sa mesure de Lebesgue (de masse 1, dans le cas du cercle).

Un noyau de sommabilité sur $X$ est une famille $(k_{t})_{t>0}$ [5] de fonctions intégrables sur $X$ telle que :

$\int _{X}k_{t}=1$
$\sup _{t>0}\int _{X}|k_{t}|<\infty$
pour tout fermé $Y$ de $X$ ne contenant pas $0$ , $\lim _{t\to 0^{+}}\int _{Y}|k_{t}|=0$ .

Une variante[6] est de considérer une suite de fonctions et de remplacer, dans le point 3, $t\to 0^{+}$ par $n\to +\infty$ .

Si les fonctions $k_{t}$ sont positives, la condition 2 est clairement redondante.

Exemples

Sur $\mathbb {R} ^{n}$ , si $k$ est une fonction intégrable et d'intégrale 1, la famille $(k_{t})_{t>0}$ définie par $k_{t}(x):=t^{-n}k(x/t)$ est un noyau de sommabilité[1] - [7].

Un exemple[1] est le noyau de Poisson sur $\mathbb {R}$ , qui correspond à la fonction $k:x\mapsto {\frac {1}{\pi }}{\frac {x}{1+x^{2}}}$ .
Un autre[8] est le noyau de Gauss-Weierstrass sur $\mathbb {R} ^{n}$ , qui correspond à la fonction gaussienne $k:x\mapsto \exp(-\pi \|x\|^{2})$ .
On peut en construire bien d'autres : voir par exemple « Intégrale impropre ».

Sur le cercle :

le noyau de Dirichlet n'est pas un noyau de sommabilité ( $\|D_{n}\|_{1}\to \infty$ ) mais sa moyenne de Cesàro, le noyau de Fejér, en est un[9].
le noyau de Landau (qui est une suite) et le noyau de Poisson (réindexé par $t:=1-r$ avec $r\in [0,1[$ [10]) sont des noyaux de sommabilité.
le noyau de Gauss-Weierstrass sur $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ est le noyau de sommabilité $(w_{t})_{t>0}$ donné par[11] : $w_{t}(x):=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-4\pi ^{2}n^{2}t+2\pi \mathrm {i} nx}={\frac {1}{\sqrt {4\pi t}}}\sum _{j=-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-(x+j)^{2}/4t}$ .

Approximation par convolution

La principale[12] propriété des noyaux de sommabilité est la suivante.

Théorème — Pour tout noyau de sommabilité $(k_{t})_{t>0}$ (sur $X=\mathbb {R} ^{n}$ ou le cercle),

\lim _{t\to 0^{+}}k_{t}\ast f=f

, aux sens suivants :

uniformément sur K, si $f$ est mesurable et bornée et si K est un compact en tout point duquel $f$ est continue[13] ;
uniformément sur X, si $f$ est continue et (si $X=\mathbb {R} ^{n}$ ) nulle à l'infini[1] - [11] - [14] ;
dans $L p (X)$ ( $1 \leq p < \infty$ ), si $f$ est p-intégrable[1] - [11] - [15].

Démonstration

D'après l'hypothèse 1 :

k_{t}\ast f(x)-f(x)=\int _{X}k_{t}(y)\left(f(x-y)-f(x)\right)\,\mathrm {d} y

Notons $M=\sup _{t>0}\int _{X}|k_{t}|$ (fini d'après l'hypothèse 2) et fixons $\varepsilon >0$ .

Il existe $\eta >0$ tel que si $|y|<\eta$ alors $\forall x\in K\quad |f(x-y)-f(x)|\leq {\frac {\varepsilon }{2M}}$ . Pour tout $x\in K$ , on en déduit :
$\left|k_{t}\ast f(x)-f(x)\right|\leq {\frac {\varepsilon }{2}}+2\|f\|_{\infty }\int _{|y|\geq \eta }|k_{t}(y)|\,\mathrm {d} y$

donc (d'après l'hypothèse 3) pour $t$ suffisamment proche de $0$ :

$\forall x\in K\quad \left|k_{t}\ast f(x)-f(x)\right|\leq \varepsilon$ .
Le calcul est identique, en remplaçant parout « $x\in K$ » par « $x\in X$ ».
D'après l'inégalité intégrale de Minkowski,
${\begin{aligned}\left\|k_{t}\ast f-f\right\|_{p}&\leq \left[\int _{X}\left(\int _{X}\left|f(x-y)-f(x)\right|\,|k_{t}(y)|\mathrm {d} y\right)^{p}\,\mathrm {d} x\right]^{1/p}\\&\leq \int _{X}\|\tau _{y}f-f\|_{p}\,|k_{t}(y)|\mathrm {d} y\end{aligned}}$

où l'opérateur de translation $\tau _{y}$ est défini par $\tau _{y}f(x):=f(x-y)$ .

Or il existe $\eta >0$ tel que si $|y|<\eta$ alors $\|\tau _{y}f-f\|_{p}\leq {\frac {\varepsilon }{2M}}$ donc tel que

$\left\|k_{t}\ast f-f\right\|_{p}\leq {\frac {\varepsilon }{2}}+2\|f\|_{p}\int _{|y|\geq \eta }|k_{t}(y)|\,\mathrm {d} y$ .

On en déduit (d'après l'hypothèse 3) que pour $t$ suffisamment proche de $0$ :

$\left\|k_{t}\ast f-f\right\|_{p}\leq \varepsilon$ .

Notes et références

Cerda 2010, p. 54-55.
Katznelson 2004, p. 10-13.
Cerda 2010, p. 55-58.
Montgomery 2014, p. 130-131.
Cerda 2010 parle d'une famille indexée par une partie de $\left]0,+\infty \right[$ à laquelle $0$ est adhérent.
Katznelson 2004 et Montgomery 2014.
Rudin 1991, p. 173, § II.6.31, réserve le nom d'« identité approchée sur $\mathbb {R} ^{n}$ » aux familles $(k_{t})_{t>0}$ construites de cette façon, avec même $k$ fonction test positive.
Cerda 2010, p. 72-73.
Cerda 2010, p. 58.
Katznelson 2004, p. 16.
Igari 2000, p. 195.
À tel point que Laurent Claessens, Le Frido, vol. 3, TheBookEdition, 2016 (lire en ligne), p. 1151, appelle « unités approchées » les noyaux de sommabilité.
Lang 2012, p. 228-229 et, dans le cas où ce compact est un singleton, Claessens 2016, p. 1151-1152.
Claessens 2016, p. 1151, suppose seulement que $f$ est uniformément continue et bornée.
Claessens 2016, p. 1151.

Bibliographie

(en) Joan Cerda, Linear Functional Analysis, AMS, 2010 (lire en ligne)
(en) Yitzhak Katznelson, An Introduction to Harmonic Analysis, CUP, 2004, 3^e éd. (1^re éd. 1968) (lire en ligne)
(en) Hugh L. Montgomery, Early Fourier Analysis, AMS, 2014 (lire en ligne)
(en) Walter Rudin, Functional Analysis, McGraw-Hill, 1991, 2^e éd. (lire en ligne)
(en) Satoru Igari, Real Analysis : With an Introduction to Wavelet Theory, AMS, 2000 (lire en ligne)
(en) Serge Lang, Real and Functional Analysis, coll. « GTM » (n^o 142), 2012 (1^re éd. 1993) (lire en ligne)

Cet article est issu de wikipedia. Text licence: CC BY-SA 4.0, Des conditions supplémentaires peuvent s’appliquer aux fichiers multimédias.