Méthode de Oberst

Considérons le cas le plus élémentaire, celui de la poutre uniforme (poutre de base, constituée d'un seul matériau). Sous l'effet d'une excitation, la théorie prédit que les différentes fréquences propres (ou de résonance) en flexion simple d'une poutre uniforme, correspondant aux différents modes de vibration, sont fonction :

• du type de conditions aux limites (« encastré-libre », « encastré-encastré », etc.) ;
• des propriétés physiques du matériau de la poutre : module de Young et masse volumique ;
• et de sa géométrie : moment d'inertie de la section par rapport à l'axe de flexion, aire de la section droite et longueur.

Cette méthode permet de mesurer le module d'un matériau.

Configuration encastré-libre : poutre uniforme (L, e) et poutre revêtue de matériau amortissant (e₁, en bleu) sur une face (poutre de Oberst).

Pour une poutre de section rectangulaire, l'équation est[4] - [5] :

${\displaystyle E_{n}\,(f_{n},T)={{12\,\rho \,L^{4}\,f_{n}^{2}} \over {e^{2}\,C_{n}^{2}}}}$

avec :

• E, le module de Young du matériau de la poutre (qui dépend de la température T), en Pa ;
• n, l'indice qui renvoie le numéro d'ordre de la vibration de résonance : 1, 2, 3, etc. ;
• f_n, la fréquence de résonance pour le mode n, en Hz ;
• L, la longueur libre de la poutre, en m ;
• ρ, la masse volumique de la poutre, en kg/m³ ;
• e, l'épaisseur de la poutre suivant la direction de vibration, en m ;
• C_n, un coefficient relatif au mode n et dépendant du type de conditions aux limites. Pour une poutre « encastré-libre »[6], les premières valeurs sont[4] :
  • C₁ = 0,55959,
  • C₂ = 3,5069,
  • C₃ = 9,8194,
  • C₄ = 19,242,
  • C₅ = 31,809,
  • et C_n = (π/2)(n-0,5)², pour n>3.

Remarque : le module de Young est lié à la célérité c_L des ondes longitudinales dans un solide par la relation E = ρ c_L².

Dans le cas d'une poutre composite (c'est-à-dire tôle support avec matériau), l'analyse spectrale de fréquences propres en flexion permet de déterminer directement la valeur du facteur d'amortissement global (ou « valeur de Oberst »), à une température donnée. Pour cela, on utilise la méthode de la largeur de la bande de fréquence à −3 dB de la valeur maximale d'un pic de résonance.

Le facteur d'amortissement (ou de perte) η (sans unité) d'un matériau traduit sa capacité à diminuer les amplitudes de vibrations solidiennes ; il mesure aussi son aptitude à dissiper l'énergie mécanique en chaleur.

La méthode vibratoire de Oberst permet de connaître indirectement le facteur d'amortissement et le module de Young complexe intrinsèques du matériau à une seule couche rapporté sur le support, à partir des mesures réalisées avec la poutre de référence en tôle.
Remarque : le facteur de perte global ne peut pas être supérieur au facteur de perte intrinsèque du matériau amortissant.

Visualisation des quatre premiers modes de résonance d'une poutre standard en acier.

La méthode de Oberst est mentionnée par exemple dans la méthode d'essai D45 1809 des principaux constructeurs automobiles français. En pratique, cette dernière impose une épaisseur de tôle e = 10⁻³ m et une longueur libre (sous encastrement) L = 0,216 m.

Les fréquences de résonance à 23 °C±0,5 °C des quatre premiers modes de la poutre acier de référence sont bien connues. La comparaison de ces quatre valeurs attendues avec les valeurs mesurées constitue un moyen de vérifier le montage du système de mesure.

Calcul du facteur d'amortissement global par l'exploitation de la bande de fréquence à −3 dB.

Les résultats de l'essai dépendent beaucoup du soin apporté à la préparation et à la mise en place de l'éprouvette.

En comparaison avec le spectre de la poutre de base, la forme de la courbe autour de chaque mode a changé (élargissement des pics) car le facteur de perte d'une poutre composite est typiquement cent fois supérieur à celui de l'acier.

Pour un substrat donné, le facteur d'amortissement global (ou composite) η dépend :

• de l'épaisseur e₁ du matériau appliqué, si les valeurs de e₁ sont modérées. En effet, pour des valeurs de e₁ élevées, le facteur de perte Oberst tend presque vers la valeur du facteur de perte du matériau seul ;
• des propriétés du matériau appliqué : module de Young et facteur d'amortissement intrinsèque.

Par exemple, pour atteindre avec e₁ = 3 mm une valeur de Oberst de 10 % avec un facteur d'amortissement intrinsèque de 50 %, le module de Young du matériau doit être d'environ 300 MPa.

Remarque : la densité du matériau ou celle du substrat n'a pas d'effet sur la valeur de Oberst. Cependant, un matériau plus dense réduira les niveaux de vibration et déplacera les fréquences de résonance.

L'utilisation d'abaques permet à l'expérimentateur d'ajuster les propriétés du matériau pour atteindre une valeur cible de Oberst requise dans un cahier des charges constructeur.

• Analyse mécanique dynamique, une méthode complémentaire qui permet de mesurer directement le facteur de perte et le module d'élasticité d'un matériau en fonction de la fréquence et de la température.
• Traitement numérique du signal
• Diapason
• Onde sur une corde vibrante

• (en) Paul Macioce, « Viscoelastic Damping 101 » [PDF], Roush Industries (consulté le 26 août 2016), 3 p. (informations générales complémentaires en physique vibratoire).

• (en) A.D. Nashif, D.I.G. Jones et J.P. Henderson, Vibration Damping, John Wiley & Sons, New York, 1985 (ISBN 0-471-86772-1).
• (en) E.E. Ungar, Damping of Panels, in Noise and Vibration Control, L.L. Beranek (éd.), McGraw-Hill, New York, 1971 (ISBN 978-0-07-004841-6).

• ISO 6721-1 : Plastiques - Détermination des propriétés mécaniques dynamiques - Partie 1 : Principes généraux.
• ISO 6721-3 : Plastiques - Détermination des propriétés mécaniques dynamiques - Partie 3 : Vibration en flexion - Méthode en résonance.
• ASTM E756 : Méthode de test pour la mesure des propriétés en amortissement vibratoire de matériaux.