Loi de Yule-Simon

La fonction de masse de la loi de Yule-Simon de paramètre ρ > 0 est :

${\displaystyle f(k;\rho )=\rho \,\mathrm {B} (k,\rho +1),\,}$

pour tout entier k ≥ 1, où B est la fonction bêta. La fonction de masse peut également être écrite en utilisant le symbole de Pochhammer décroissant :

${\displaystyle f(k;\rho )={\frac {\rho \,\Gamma (\rho +1)}{(k+\rho )^{\underline {\rho +1}}}}}$

où Γ est la fonction gamma. Ainsi, si ρ est entier,

${\displaystyle f(k;\rho )={\frac {\rho \,\rho$ !\,(k-1)!}{(k+\rho )!}}.}

La fonction de masse f possède la propriété suivante, pour k suffisamment grand :

${\displaystyle f(k;\rho )\approx {\frac {\rho \,\Gamma (\rho +1)}{k^{\rho +1}}}\propto {\frac {1}{k^{\rho +1}}}.}$

Ceci signifie que la queue de la loi de Yule-Simon est une réalisation de la loi de Zipf : la fonction f peut être utilisée pour modéliser, par exemple, les fréquences relatives du k-ième mot le plus fréquent dans de grands textes qui, selon la loi de Zipf, est inversement proportionnel à la puissance typique de k.

Le paramètre ρ peut être estimé en utilisant un algorithme de point fixe[2].

La loi de Yule-Simon apparait initialement en tant que loi limite d'un cas particulier de processus stochastique étudié par Yule pour modéliser la répartition de taxons biologiques[3]. Simon baptisa ce processus le processus de Yule, il est cependant plus connu aujourd'hui comme processus d'attachement préférentiel. Ce processus est problème d'urne dans lequel chaque boule est ajoutée à un nombre croissant d'urnes suivant une probabilité dépendant linéairement du nombre de boules déjà dans l'urne.

Cette loi apparait également comme mélange continu de lois géométriques. Plus spécifiquement, si W suit une loi exponentielle de paramètre ρ : ${\displaystyle W\sim {\mathcal {E}}(\rho )}$ avec densité ${\displaystyle h(w;\rho )=\rho \,\exp(-\rho \,w)\,}$, alors la variable aléatoire K de loi géométrique de paramètre e^-W suit la loi de Yule-Simon :

${\displaystyle K\sim {\mathcal {G}}(\exp(-W))\,}$

La fonction de masse de la loi de Yule–Simon est alors le mélange exponentiel-géométrique suivant :

${\displaystyle f(k;\rho )=\int _{0}^{\infty }\,\,\,g(k;\exp(-w))\,h(w;\rho )\,dw}$

où ${\displaystyle g(k;p)=p\,(1-p)^{k-1}}$ est la fonction de masse de la loi géométrique.

Une généralisation possible de la loi de Yule-Simon consiste à introduire un nouveau paramètre en remplaçant fonction bêta par la fonction bêta incomplète. La fonction de masse de la loi de Yule-Simon généralisée de paramètres ρ > 0 et 0 ≤ α < 1 est donnée par :

${\displaystyle f(k;\rho ,\alpha )={\frac {\rho }{1-\alpha ^{\rho }}}\mathrm {B} _{1-\alpha }(k,\rho +1).}$

Pour α = 0 , on retrouve la loi de Yule-Simon standard.

• (en) Colin Rose et Murray D. Smith, Mathematical Statistics with Mathematica : Mathematical Statistics with Mathematica, New York, Springer, 2002, 107 p. (ISBN 0-387-95234-9)