Loi géométrique

En notant ${\displaystyle q=1-p}$, la probabilité que X = k est alors, pour k = 1, 2, 3, ... :

${\displaystyle \mathbb {P} (X=k)=q^{k-1}p.}$

La probabilité ${\displaystyle \mathbb {P} (X=k)}$ correspond à la probabilité d'obtenir dans une succession de k épreuves de Bernoulli, k – 1 échecs suivis d'un succès. Les épreuves étant indépendantes, cette probabilité est de q^{k – 1}p. Dans la suite, nous prenons cette définition.

Pour l'autre définition, nous avons :

${\displaystyle \mathbb {P} (Y=k)=q^{k}p.}$

Il s'agit lors d'une succession d'épreuves de Bernoulli indépendantes, d'obtenir k échecs consécutifs suivi d'un succès. Elle modélise la durée de vie d'une entité qui aurait, à tout instant la probabilité p de mourir.

On remarque qu'il ne s'agit que d'un décalage de la précédente loi géométrique, au sens suivant. Son espérance n'est plus alors de 1/p mais de 1/p – 1, c'est-à-dire q/p. La variance est identique pour les deux définitions.

Dans les programmes 2011 de Première Scientifique en France[1], on appelle loi géométrique tronquée de paramètres n et p, la loi de la variable aléatoire obtenue en limitant à n le nombre d'épreuves de Bernoulli de paramètre p et en notant k le rang du premier succès. Par convention, s'il n'advient aucun succès au cours des n essais, on pose X = 0 (on trouve parfois pour X le nombre d'échecs consécutifs obtenus avant l'obtention d'un premier succès au cours des n épreuves[2]). La probabilité que X = k est alors, pour k = 1, 2, 3, ..., n :

${\displaystyle \mathbb {P} (X=k)=q^{k-1}p}$

et pour k = 0

${\displaystyle \mathbb {P} (X=0)=q^{n}.}$

Cette loi de probabilité a pour espérance[1]: ${\displaystyle \mathbb {E} (X)={\frac {1}{p}}\left(1-\left(np+1\right)q^{n}\right)}$ où q = 1 - p.

Le terme « tronquée », ici, n'a pas le même sens que celui que l'on trouve dans la définition d'une loi tronquée.

La loi géométrique est une version discrétisée de la loi exponentielle. En conséquence, la loi exponentielle est une limite de lois géométriques renormalisées.

Propriété — Si X suit la loi exponentielle d'espérance 1, et si ${\displaystyle Y=\lceil \theta X\rceil ,\ \theta >0,}$ alors Y suit la loi géométrique de paramètre

${\displaystyle p\ =\ 1-\mathrm {e} ^{-\ {\tfrac {1}{\theta }}}.}$

Démonstration

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} (Y=k)&=\mathbb {P} (\lceil \theta X\rceil =k)\\&=\mathbb {P} (\theta X\in ]k-1,k])\\&=\mathbb {P} \left(X\in \left]{\tfrac {k-1}{\theta }},{\tfrac {k}{\theta }}\right]\right)\\&=F_{X}\left({\tfrac {k}{\theta }}\right)-F_{X}\left({\tfrac {k-1}{\theta }}\right)\\&=\exp \left(-\ {\tfrac {k-1}{\theta }}\right)-\exp \left(-\ {\tfrac {k}{\theta }}\right)\\&=\left(\mathrm {e} ^{-\ {\tfrac {1}{\theta }}}\right)^{k-1}\ \left(1-\mathrm {e} ^{-\ {\tfrac {1}{\theta }}}\right).\end{aligned}}}$

Diagramme en bâtons de la loi de V et densité de la loi exponentielle de paramètre 1/10.

Notons que, pour un nombre réel x, ${\displaystyle \lceil x\rceil }$ désigne la partie entière supérieure de x, définie par

${\displaystyle \lceil x\rceil \ =\ \min \left\{k\in \mathbb {Z} \ |\ k\geqslant x\right\}.}$

Conséquence :

Ainsi, pour obtenir une variable aléatoire Y' suivant une loi géométrique de paramètre p arbitraire (avec toutefois la contrainte 0 < p < 1), à partir d'une variable aléatoire exponentielle X' de paramètre λ, il suffit de poser

${\displaystyle Y^{\prime }=\lceil \theta X^{\prime }\rceil ,}$

où l'on a choisi

${\displaystyle \theta \ =\ -{\tfrac {\lambda }{\ln \left(1-p\right)}}.}$

En effet, ${\displaystyle X=\lambda \,X^{\prime }}$ suit une loi exponentielle de paramètre 1 (et d'espérance 1).

Réciproquement,

Propriété — Si, pour ${\displaystyle n\geq 1,}$ la variable aléatoire Y_n suit la loi géométrique de paramètre p_n, et si, simultanément,

${\displaystyle \lim _{n}p_{n}\ =\ 0\qquad {\text{et}}\qquad \lim _{n}p_{n}/a_{n}\ =\ \lambda >0,}$

alors a_nY_n converge en loi vers la loi exponentielle de paramètre λ.

Démonstration

On se donne une variable aléatoire exponentielle X de paramètre 1, et on pose

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{n}&=-{\tfrac {1}{\ln \left(1-p_{n}\right)}},\\\mathrm {Y} _{n}^{\prime }&=\lceil \theta _{n}\mathrm {X} \rceil .\end{aligned}}}$

Alors Y_n et ${\displaystyle Y_{n}^{\prime }}$ ont même loi, en vertu de la propriété précédente. Par ailleurs, pour tout ω

${\displaystyle \lim _{n}a_{n}Y_{n}^{\prime }(\omega )\ =\ \lim _{n}a_{n}\lceil \theta _{n}X(\omega )\rceil =\ \left(\lim _{n}a_{n}\theta _{n}\right)\ X(\omega )\ =\ X(\omega )/\lambda .}$

Or d'une part la convergence presque sûre entraine la convergence en loi, d'autre part la loi de X/λ est la loi exponentielle de paramètre λ.

Si X_n est une variable aléatoire distribuée selon la loi binomiale négative de paramètres n et p, alors X_n a même loi que la somme de n variables aléatoires indépendantes distribuées selon une loi géométrique de paramètre p.