Écart moyen

En statistique, et en probabilités, l'écart moyen est une mesure de la dispersion autour de la moyenne.

En statistique

Il se calcule ainsi :

dans le cas d'une série discrète non triée, écart moyen = ${\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-{\bar {x}}|$ ;
dans le cas d'une série discrète regroupée[1], écart moyen = ${\frac {\sum _{i=1}^{n}n_{i}|x_{i}-{\bar {x}}|}{\sum _{i=1}^{n}n_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}f_{i}|x_{i}-{\bar {x}}|$ ;
dans le cas d'une série continue, écart moyen = ${\frac {\sum _{i=1}^{n}n_{i}|m_{i}-{\bar {x}}|}{\sum _{i=1}^{n}n_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}f_{i}|m_{i}-{\bar {x}}|$ .

En probabilités

Définition

Pour une variable aléatoire réelle $X$ , l'écart moyen est la moyenne des écarts (absolus) à la moyenne : ${\textbf {EM}}(X)=\mathbb {E} \left(|X-\mathbb {E} (X)|\right)$ .

On précise parfois écart moyen absolu, pour le différentier de l'écart moyen algébrique $\mathbb {E} \left(X-\mathbb {E} (X)\right)$ , lequel est nul.

Exemples

Si $X$ suit une loi binomiale $B(2n,1/2)$ , ${\textbf {EM}}(X)=\mathbb {E} (|X-n|)=n{\frac {2n \choose n}{2^{2n}}}\sim {\sqrt {n \over \pi }}$ .
Si $X$ suit une loi normale ${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ , ${\textbf {EM}}(X)=\mathbb {E} (|X-\mu |)={\sqrt {2 \over \pi }}\sigma$ .
Si $X$ suit une loi géométrique de paramètre 1/2, ${\textbf {EM}}(X)=\mathbb {E} (|X-2|)=1$ .

Comparaison avec l'écart-type

L'écart moyen a une définition plus naturelle que l'écart-type $\sigma (X)={\sqrt {\mathbb {E} \left(\left(X-\mathbb {E} (X)\right)^{2}\right)}}$ , mais il est plus difficile à calculer en général.

D'après l'inégalité de Jensen, l'écart moyen est inférieur ou égal à l'écart type.

Notes et références

Ecart-moyen, Bibm@th.net

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