Fraction continue de Gauss

Le cas le plus simple concerne la fonction

${\displaystyle {}_{0}F_{1}(;a;z)=1+{\frac {1}{a\,1!}}z+{\frac {1}{a(a+1)\,2!}}z^{2}+{\frac {1}{a(a+1)(a+2)\,3!}}z^{3}+\cdots .}$

D'après l'identité ${\displaystyle _{0}F_{1}(;a-1;z)-\,_{0}F_{1}(;a;z)={\frac {z}{a(a-1)}}\,_{0}F_{1}(;a+1;z),}$ on peut prendre ${\displaystyle f_{i}=\,_{0}F_{1}(;a+i;z){\text{ et }}k_{i}={\frac {1}{(a+i)(a+i-1)}},}$ ce qui donne ${\displaystyle {\frac {{}_{0}F_{1}(;a+1;z)}{\,_{0}F_{1}(;a;z)}}={\frac {1\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\frac {1}{a(a+1)}}z\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\frac {1}{(a+1)(a+2)}}z\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\frac {1}{(a+2)(a+3)}}z\mid }{\mid 1}}+\cdots }$ ou encore, par conversion :

${\displaystyle {\frac {{}_{0}F_{1}(;a+1;z)}{a\,_{0}F_{1}(;a;z)}}={\frac {1\mid }{\mid a}}+{\frac {z\mid }{\mid a+1}}+{\frac {z\mid }{\mid a+2}}+{\frac {z\mid }{\mid a+3}}+\cdots .}$

Ce développement converge vers la fonction méromorphe définie par le quotient des deux séries convergentes (sous réserve, bien sûr, que a ne soit pas un entier négatif ou nul).

Le cas suivant concerne la fonction hypergéométrique confluente de Kummer

${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)=1+{\frac {a}{b\,1!}}z+{\frac {a(a+1)}{b(b+1)\,2!}}z^{2}+{\frac {a(a+1)(a+2)}{b(b+1)(b+2)\,3!}}z^{3}+\cdots ,}$

pour laquelle on utilise alternativement les deux identités ${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b-1;z)-\,_{1}F_{1}(a+1;b;z)={\frac {(a-b+1)z}{b(b-1)}}\,_{1}F_{1}(a+1;b+1;z),}$ ${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b-1;z)-\,_{1}F_{1}(a;b;z)={\frac {az}{b(b-1)}}\,_{1}F_{1}(a+1;b+1;z).}$ En posant ${\displaystyle f_{0}(z)=\,_{1}F_{1}(a;b;z),}$ ${\displaystyle f_{1}(z)=\,_{1}F_{1}(a+1;b+1;z),}$ ${\displaystyle f_{2}(z)=\,_{1}F_{1}(a+1;b+2;z),}$ ${\displaystyle f_{3}(z)=\,_{1}F_{1}(a+2;b+3;z),}$ ${\displaystyle f_{4}(z)=\,_{1}F_{1}(a+2;b+4;z),}$ etc. et ${\displaystyle k_{1}={\frac {a-b}{b(b+1)}},~k_{2}={\frac {a+1}{(b+1(b+2)}},~k_{3}={\frac {a-b-1}{(b+2)(b+3)}},~k_{4}={\frac {a+2}{(b+3)(b+4)}},\ldots }$ on obtient ${\displaystyle {\frac {{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}{{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}={\frac {1\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\frac {a-b}{b(b+1)}}z\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\frac {a+1}{(b+1)(b+2)}}z\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\frac {a-b-1}{(b+2)(b+3)}}z\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\frac {a+2}{(b+3)(b+4)}}z\mid }{\mid 1}}+\cdots }$ dont on déduit

${\displaystyle {\frac {{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}{b\,_{1}F_{1}(a;b;z)}}={\frac {1\mid }{\mid b}}+{\frac {(a-b)z\mid }{\mid b+1}}+{\frac {(a+1)z\mid }{\mid b+2}}+{\frac {(a-b-1)z\mid }{\mid b+3}}+{\frac {(a+2)z\mid }{\mid b+4}}+\cdots }$

mais aussi, en utilisant que ₁F₁(0; b; z) = 1 et en remplaçant b + 1 par b, le cas particulier

${\displaystyle {}_{1}F_{1}(1;b;z)={\frac {1\mid }{\mid 1}}-{\frac {z\mid }{\mid b}}+{\frac {z\mid }{\mid b+1}}-{\frac {bz\mid }{\mid b+2}}+{\frac {2z\mid }{\mid b+3}}-{\frac {(b+1)z\mid }{\mid b+4}}+\cdots .}$

De même, ${\displaystyle {\frac {{}_{1}F_{1}(a;b+1;z)}{{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}={\frac {1\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\frac {a}{b(b+1)}}z\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\frac {a-b-1}{(b+1)(b+2)}}z\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\frac {a+1}{(b+2)(b+3)}}z\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\frac {a-b-2}{(b+3)(b+4)}}z\mid }{\mid 1}}+\cdots }$ ou encore :

${\displaystyle {\frac {{}_{1}F_{1}(a;b+1;z)}{b\,_{1}F_{1}(a;b;z)}}={\frac {1\mid }{\mid b}}+{\frac {az\mid }{\mid b+1}}+{\frac {(a-b-1)z\mid }{\mid b+2}}+{\frac {(a+1)z\mid }{\mid b+3}}+{\frac {(a-b-2)z\mid }{\mid b+4}}+\cdots .}$

Le dernier cas concerne la fonction

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=1+{\frac {ab}{c\,1!}}z+{\frac {a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)\,2!}}z^{2}+{\frac {a(a+1)(a+2)b(b+1)(b+2)}{c(c+1)(c+2)\,3!}}z^{3}+\cdots .}$

On utilise à nouveau, alternativement, deux identités : ${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c-1;z)-\,_{2}F_{1}(a+1,b;c;z)={\frac {(a-c+1)bz}{c(c-1)}}\,_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z),}$ ${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c-1;z)-\,_{2}F_{1}(a,b+1;c;z)={\frac {(b-c+1)az}{c(c-1)}}\,_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z),}$ qui sont en fait la même à interversion près de a et b.

En posant ${\displaystyle f_{0}(z)=\,_{2}F_{1}(a,b;c;z),}$ ${\displaystyle f_{1}(z)=\,_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z),}$ ${\displaystyle f_{2}(z)=\,_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+2;z),}$ ${\displaystyle f_{3}(z)=\,_{2}F_{1}(a+2,b+1;c+3;z),}$ ${\displaystyle f_{4}(z)=\,_{2}F_{1}(a+2,b+2;c+4;z),}$ etc. et ${\displaystyle k_{1}={\frac {(a-c)b}{c(c+1)}},~k_{2}={\frac {(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}},~k_{3}={\frac {(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}},~k_{4}={\frac {(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}},\ldots }$ on obtient ${\displaystyle {\frac {{}_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z)}{{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}}={\frac {1\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\frac {(a-c)b}{c(c+1)}}z\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\frac {(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}}z\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\frac {(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}}z\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\frac {(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}}z\mid }{\mid 1}}+\cdots }$ dont on déduit

${\displaystyle {\frac {{}_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z)}{{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}}={\frac {1\mid }{\mid c}}+{\frac {(a-c)bz\mid }{\mid c+1}}+{\frac {(b-c-1)(a+1)z\mid }{\mid c+2}}+{\frac {(a-c-1)(b+1)z\mid }{\mid c+3}}+{\frac {(b-c-2)(a+2)z\mid }{\mid c+4}}+\cdots .}$

mais aussi, en utilisant que ₂F₁(0, b; c; z) = 1 et en remplaçant c + 1 par c, le cas particulier

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(1,b;c;z)={\frac {1\mid }{\mid 1}}-{\frac {bz\mid }{\mid c}}+{\frac {(b-c)z\mid }{\mid c+1}}-{\frac {c(b+1)z\mid }{\mid c+2}}+{\frac {2(b-c-1)z\mid }{\mid c+3}}-{\frac {(c+1)(b+2)z\mid }{\mid c+4}}+\cdots .}$

• La fonction de Bessel J_α peut s'écrire${\displaystyle J_{\alpha }(z)={\frac {({\tfrac {1}{2}}z)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}\,_{0}F_{1}(;\alpha +1;-{\frac {z^{2}}{4}}).}$Il en résulte que pour tout complexe z,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {J_{\alpha }(z)}{J_{\alpha -1}(z)}}&={\frac {z\Gamma (\alpha )}{2\Gamma (\alpha +1)}}{\frac {\,_{0}F_{1}(;\alpha +1;-{\frac {z^{2}}{4}})}{{}_{0}F_{1}(;\alpha$ ;-{\frac {z^{2}}{4}})}}={\frac {z}{2}}{\frac {\,_{0}F_{1}(;\alpha +1;-{\frac {z^{2}}{4}})}{\alpha \,_{0}F_{1}(;\alpha ;-{\frac {z^{2}}{4}})}}\\&={\frac {{\frac {z}{2}}\mid }{\mid \alpha }}-{\frac {{\frac {z^{2}}{4}}\mid }{\mid \alpha +1}}-{\frac {{\frac {z^{2}}{4}}\mid }{\mid \alpha +2}}-{\frac {{\frac {z^{2}}{4}}\mid }{\mid \alpha +3}}-\cdots \\&={\frac {z\mid }{\mid 2\alpha }}-{\frac {z^{2}\mid }{\mid 2(\alpha +1)}}-{\frac {z^{2}\mid }{\mid 2(\alpha +2)}}-{\frac {z^{2}\mid }{\mid 2(\alpha +3)}}-\cdots .\end{aligned}}}

• On retrouve ainsi[9] les fractions continues de Lambert pour les fonctions tangente et tangente hyperbolique (voir le § « Irrationalité » de l'article sur l'approximation diophantienne) :${\displaystyle \tan z={\frac {J_{\frac {1}{2}}(z)}{J_{-{\frac {1}{2}}}(z)}}={\frac {z\mid }{\mid 1}}-{\frac {z^{2}\mid }{\mid 3}}-{\frac {z^{2}\mid }{\mid 5}}-{\frac {z^{2}\mid }{\mid 7}}-\cdots }$ ;${\displaystyle \tanh z=-\mathrm {i} \tan(\mathrm {i} z)={\frac {z\mid }{\mid 1}}+{\frac {z^{2}\mid }{\mid 3}}+{\frac {z^{2}\mid }{\mid 5}}+{\frac {z^{2}\mid }{\mid 7}}+\cdots }$(ce qui, après quelques transformations, peut être utilisé pour déterminer la fraction continue de e).

• La fonction exponentielle se développe en[10]${\displaystyle {\rm {e}}^{z}={}_{1}F_{1}(1;1;z)={\frac {1\mid }{\mid 1}}-{\frac {z\mid }{\mid 1}}+{\frac {z\mid }{\mid 2}}-{\frac {z\mid }{\mid 3}}+{\frac {2z\mid }{\mid 4}}-{\frac {2z\mid }{\mid 5}}+\cdots .}$
• La fonction d'erreur erf  se développe, pour tout complexe z, en[11]${\displaystyle {\frac {\sqrt {\pi }}{2}}{\rm {e}}^{z^{2}}{\rm {erf}}(z)=\,_{1}F_{1}(1;{\tfrac {3}{2}};z^{2})={\frac {z\mid }{\mid 1}}-{\frac {z^{2}\mid }{\mid {\frac {3}{2}}}}+{\frac {z^{2}\mid }{\mid {\frac {5}{2}}}}-{\frac {{\frac {3}{2}}z^{2}\mid }{\mid {\frac {7}{2}}}}+{\frac {2z^{2}\mid }{\mid {\frac {9}{2}}}}-{\frac {{\frac {5}{2}}z^{2}\mid }{\mid {\frac {11}{2}}}}+{\frac {3z^{2}\mid }{\mid {\frac {13}{2}}}}-{\frac {{\frac {7}{2}}z^{2}\mid }{\mid {\frac {15}{2}}}}+\cdots .}$
• On peut développer de même les fonctions de Fresnel, celle de Dawson et les fonctions gamma incomplètes γ(s, z) et Γ(s, z).

• De${\displaystyle (1-z)^{-b}=\,_{1}F_{0}(b;;z)=\,_{2}F_{1}(1,b;1;z)}$(variante de la série binomiale (1 + z)^α) on déduit${\displaystyle (1-z)^{-b}={\frac {1\mid }{\mid 1}}-{\frac {bz\mid }{\mid 1}}+{\frac {(b-1)z\mid }{\mid 2}}-{\frac {(b+1)z\mid }{\mid 3}}+{\frac {2(b-2)z\mid }{\mid 4}}-{\frac {2(b+2)z\mid }{\mid 5}}+\cdots }$ainsi que l'expression suivante de fonction arc tangente :${\displaystyle \arctan(z)=z\,_{2}F_{1}({\tfrac {1}{2}},1;{\tfrac {3}{2}};-z^{2})={\frac {z\mid }{\mid 1}}+{\frac {(1z)^{2}\mid }{\mid 3}}+{\frac {(2z)^{2}\mid }{\mid 5}}+{\frac {(3z)^{2}\mid }{\mid 7}}+{\frac {(4z)^{2}\mid }{\mid 9}}+\cdots ,}$qui converge dans le plan complexe privé des deux demi-droites ]–∞, –1]i et [1, +∞[i de l'axe imaginaire pur[12] (i et −i sont des points de branchement). Cette convergence est assez rapide en z = 1, donnant une approximation de π/4 à 7 décimales dès la neuvième réduite (alors qu'avec la formule de Brouncker, il faut plus d'un million de termes pour la même précision[13]).
• On peut développer de même, par exemple, le logarithme naturel et la fonction arc sinus.