Problème de convergence

Contrairement à une série, une fraction

${\displaystyle b_{0}+{\frac {a_{1}\mid }{\mid b_{1}}}+{\frac {a_{2}\mid }{\mid b_{2}}}+\cdots }$

peut très bien être convergente sans que ses « fractions extraites »

${\displaystyle b_{n-1}+{\frac {a_{n}\mid }{\mid b_{n}}}+{\frac {a_{n+1}\mid }{\mid b_{n+1}}}+\cdots }$

le soient toutes. Par exemple[12] :

${\displaystyle 1+{\frac {-1\mid }{\mid 2}}+{\frac {-1\mid }{\mid 2}}+{\frac {-1\mid }{\mid 2}}+\cdots =0}$

donc

${\displaystyle 1+{\frac {1\mid }{\mid 1}}+{\frac {1\mid }{\mid 1}}+{\frac {-1\mid }{\mid 2}}+{\frac {-1\mid }{\mid 2}}+{\frac {-1\mid }{\mid 2}}+\cdots =1+{\frac {1\mid }{\mid 1}}+{\frac {1\mid }{\mid 0}}=1}$

mais

${\displaystyle 1+{\frac {1\mid }{\mid 1}}+{\frac {-1\mid }{\mid 2}}+{\frac {-1\mid }{\mid 2}}+{\frac {-1\mid }{\mid 2}}+\cdots =+\infty .}$

Une fraction convergente est dite inconditionnellement convergente lorsque toutes ses « fractions extraites » convergent, et conditionnellement convergente sinon[12] - [13]. Désormais, sauf précision contraire, lorsqu'on parlera de convergence d'une fraction continue généralisée, il s'agira implicitement de la « bonne » notion : celle de convergence inconditionnelle qui, par définition, est héritée par les « fractions extraites »[12].

La convergence vers x d'une fraction est inconditionnelle si et seulement si aucune de ses réduites n'est égale à x[12] - [13].

Une fraction continue périodique[14] (dont un cas particulier est celle correspondant à un irrationnel quadratique) est une fraction continue dont les deux suites des numérateurs partiels et des dénominateurs partiels sont, à partir d'un certain rang, périodiques, et dont les numérateurs partiels sont non nuls. Pour les étudier, il suffit évidemment[15] de se concentrer sur celles dites « purement périodiques » avec de plus b₀ = 0, c'est-à-dire celles de la forme

${\displaystyle x={\frac {a_{1}\mid }{\mid b_{1}}}+{\frac {a_{2}\mid }{\mid b_{2}}}+\cdots +{\frac {a_{k}\mid }{\mid b_{k}}}+{\frac {a_{1}\mid }{\mid b_{1}}}+{\frac {a_{2}\mid }{\mid b_{2}}}+\cdots +{\frac {a_{k}\mid }{\mid b_{k}}}+\cdots .}$

En appliquant la théorie des transformations de Möbius à ${\displaystyle s(w)={\frac {A_{k-1}w+A_{k}}{B_{k-1}w+B_{k}}}}$ où A_k–1, B_k–1, A_k et B_k sont les numérateurs et les dénominateurs des réduites d'indices k – 1 et k de x, on montre que si x converge, elle converge vers un des points fixes de s(w). Plus précisément, soit r₁ et r₂ les racines de l'équation du second degré ${\displaystyle B_{k-1}w^{2}+(B_{k}-A_{k-1})w-A_{k}=0,}$ qui sont les points fixes de s(w). Si B_k–1 n'est pas nul, x converge vers r₁ si et seulement si

1. r₁ = r₂ ou
2. la réduite d'indice k – 1 est plus proche de r₁ que de r₂ et, si k ≥ 2, aucune des k – 1 réduites précédentes (d'indices 0, … , k – 2) n'est égale à r₂.

Si B_k–1 est nul, tous les B_nk–1 s'annulent aussi, et la fraction continue ne converge pas. Lorsqu'aucune des deux conditions précédentes n'est remplie, la suite des réduites oscille sans converger[15] - [16] - [17].

Cas particulier où la période est égale à 1

Si la période k vaut 1, c'est-à-dire si ${\displaystyle x={\frac {a\mid }{\mid b}}+{\frac {a\mid }{\mid b}}+{\frac {a\mid }{\mid b}}+\cdots }$ (avec b non nul), alors A₀/B₀ = 0/1 = 0, A₁/B₁ = a/b et l'équation précédente devient : w² + bw – a = 0, qui n'est autre que ${\displaystyle w={\frac {a}{b+w}}.}$ D'après le résultat précédent, x converge vers r₁ si et seulement si r₁ = r₂ ou |r₁| < |r₂|.

La condition pour que la fraction ${\displaystyle y:=b+x=b+{\frac {a\mid }{\mid b}}+{\frac {a\mid }{\mid b}}+{\frac {a\mid }{\mid b}}+\cdots }$ converge est bien sûr la même, et sa limite est alors b + r₁, c'est-à-dire cette fois (puisque r₁ + r₂ = – b) la racine de plus grand module de l'équation v² – bv – a = 0, qui n'est autre que ${\displaystyle v=b+{\frac {a}{v}}.}$

Preuve élémentaire directe

Les numérateurs et dénominateurs des réduites forment ici une suite récurrente linéaire d'ordre 2 (la même, à un décalage près : A_n = B_n+1) :

${\displaystyle B_{-1}=0,\quad B_{0}=1,\quad B_{n}=bB_{n-1}+aB_{n-2}.}$

L'étude générale des suites récurrentes linéaires montre que deux cas se présentent :

• si l'équation v² – bv – a = 0 a deux racines distinctes δ₁ et δ₂ :

Si l'on désigne par δ₁ la plus grande des deux racines en module, alors δ₁ est nécessairement non nul, ce qui permet de définir le nombre complexe ω = δ₂/δ₁ (différent de 1) et d'écrire :

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \cup \{-1\}\quad B_{n}={\frac {\delta _{1}^{n+1}-\delta _{2}^{n+1}}{\delta _{1}-\delta _{2}}}=\delta _{1}^{n}{\frac {1-\omega ^{n+1}}{1-\omega }}.}$

Ce cas se divise alors en deux :

• Les racines sont de modules distincts :

Dans ce cas, ω est de module strictement inférieur à 1 donc ωⁿ tend vers 0, et la suite des réduites converge vers δ₁ car

${\displaystyle {\frac {A_{n-1}}{B_{n-1}}}={\frac {B_{n}}{B_{n-1}}}=\delta _{1}{\frac {1-\omega ^{n+1}}{1-\omega ^{n}}}.}$

• Les racines sont de même module :

Dans ce cas, ω est de module 1. Si c'est une racine de l'unité, d'ordre m, alors la suite des réduites est divergente car périodique de période m > 1, l'une de ses m valeurs étant même indéfinie (de dénominateur nul). Si ω n'est pas une racine de l'unité, la suite (ωⁿ) est dense dans le cercle unité et la suite des réduites est également divergente car${\displaystyle {\frac {A_{n-1}}{B_{n-1}}}=\delta _{1}{\frac {1-\omega ^{n+1}}{1-\omega ^{n}}}=\delta _{1}\left({\frac {1-\omega }{1-\omega ^{n}}}+\omega \right).}$

• si l'équation v² – bv – a = 0 a une racine double δ (non nulle) :${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \cup \{-1\}\quad B_{n}=(n+1)\delta ^{n}.}$${\displaystyle {\frac {A_{n-1}}{B_{n-1}}}={\frac {B_{n}}{B_{n-1}}}={\frac {(n+1)\delta ^{n}}{n\delta ^{n-1}}}=\delta \left(1+{\frac {1}{n}}\right)\to \delta .}$La suite des réduites converge vers l'unique racine.

En posant z = a/b², la convergence de x et y a donc lieu si et seulement si les deux racines carrées de 1 + 4z sont soit égales, soit non équidistantes de 1, c'est-à-dire si et seulement si z n'est pas un réel < −1/4.

En particulier, la fraction ${\displaystyle {\frac {1\mid }{\mid b}}+{\frac {1\mid }{\mid b}}+{\frac {1\mid }{\mid b}}+\cdots }$ converge si et seulement si 1/b² n'est pas un réel < −1/4, c'est-à-dire si le complexe b (supposé non nul) n'appartient pas à l'intervalle imaginaire pur ]−2i, 2i[.

La convergence était prévisible pour b réel positif[18], par le théorème de Seidel-Stern vu plus haut (et pour b de module supérieur ou égal à 2, par le critère de Śleszyński-Pringsheim[19] ci-dessous).

À la fin du dix-neuvième siècle, Ivan Śleszyński et Alfred Pringsheim montrèrent que si les numérateurs et dénominateurs partiels vérifient |b_n| ≥ |a_n| + 1 pour n ≥ 1, alors

${\displaystyle \forall N\in \mathbb {N} \quad \sum _{n=1}^{N}\left|{\frac {a_{1}\ldots a_{n}}{B_{n-1}B_{n}}}\right|<1}$[20]

donc (cf. § « Condition nécessaire et suffisante de convergence » ci-dessus) la fraction

${\displaystyle {\frac {a_{1}\mid }{\mid b_{1}}}+{\frac {a_{2}\mid }{\mid b_{2}}}+\cdots }$

converge[21] et ses réduites sont de modules strictement inférieurs à 1. En utilisant des fractions de période 1, on peut d'ailleurs montrer[22] que l'« ensemble limite des fractions de Śleszyński-Pringsheim » — c'est-à-dire l'ensemble de toutes les limites de fractions vérifiant les hypothèses de ce théorème — est exactement le disque unité fermé.

Auparavant (en 1865[23]), Julius Worpitzky avait démontré, dans ce qui semble être « la plus ancienne publication d'un mémoire sur la convergence des fractions continues algébriques[24] », que si les numérateurs partiels a_n de la fraction continue

${\displaystyle {\frac {a_{1}\mid }{\mid 1}}+{\frac {a_{2}\mid }{\mid 1}}+{\frac {a_{3}\mid }{\mid 1}}+\cdots }$

sont tels que |a_n| ≤ 1/4 alors la fraction converge, uniformément par rapport à z si les complexes a_n sont des fonctions d'une variable z.

Ce théorème se déduit aujourd'hui de celui de Śleszyński-Pringsheim, par l'équivalence de fractions ${\displaystyle {\frac {2a_{1}\mid }{\mid 1}}+{\frac {a_{2}\mid }{\mid 1}}+{\frac {a_{3}\mid }{\mid 1}}+\cdots ={\frac {4a_{1}\mid }{\mid 2}}+{\frac {4a_{2}\mid }{\mid 2}}+{\frac {4a_{3}\mid }{\mid 2}}+\cdots .}$ Il permit à Worpitzky de montrer que si

${\displaystyle f(z)={\frac {1\mid }{\mid 1}}+{\frac {c_{2}z\mid }{\mid 1}}+{\frac {c_{3}z\mid }{\mid 1}}+{\frac {c_{4}z\mid }{\mid 1}}+\cdots }$

et si |c_i| ≤ 1/4 pour tout i, alors, pour |z| ≤ 1, la fraction f(z) converge uniformément, donc f est holomorphe sur le disque unité ouvert[23].

Il est immédiat que de plus, toutes les réduites de f(z) appartiennent au disque ouvert Ω de rayon 2/3 centré en 4/3 et que l'ensemble limite est le disque fermé Ω.

On peut aussi montrer que[25] 1/4 est le plus grand majorant des |c_i| pour lequel la convergence de f(1) a toujours lieu.

Jones et Thron attribuent à Edward Burr Van Vleck le résultat suivant, qui généralise le théorème de Seidel-Stern. Si tous les a_i valent 1, et si tous les b_i ont des arguments tels que ${\displaystyle -\pi /2+\varepsilon <\arg(b_{i})<\pi /2-\varepsilon ,}$ où ε est un nombre positif fixé inférieur à π/2 (autrement dit si tous les b_i sont dans un secteur angulaire d'ouverture π – 2ε et symétrique autour de l'axe des réels positifs), alors la i-ième réduite f_i de la fraction continue est située dans le même secteur, c'est-à-dire qu'elle vérifie ${\displaystyle -\pi /2+\varepsilon <\arg(f_{i})<\pi /2-\varepsilon .}$

Dans ce cas, les suites des réduites d'indice pair et des réduites d'indice impair convergent, mais pas forcément vers la même limite ; leur limite est commune (et alors la fraction continue converge) si et seulement si la série des |b_n| est divergente[26].

• (en) George E. Andrews et Bruce C. Berndt, Ramanujan's Lost Notebook, vol. I, Springer, 2005 (lire en ligne)
• (en) Annie Cuyt et Luc Wuytack, Nonlinear Methods in Numerical Analysis, Elsevier, 1987 (lire en ligne), chap. I, § 4 (« Convergence of continued fractions »)
• (en) David F. Dawson, « A theorem on continued fractions and the fundamental inequalities », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 13,‎ 1962, p. 698-701 (lire en ligne)
• (en) Amparo Gil, Javier Segura et Nico M. Temme, Numerical Methods for Special Functions, SIAM, 2007 (lire en ligne), « § 6.5 : Convergence of continued fractions »
• (en) W. T. Scott et H. S. Wall, « A convergence theorem for continued fractions », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 47,‎ 1940, p. 155-172 (lire en ligne)
• (en) Haakon Waadeland, « Some Recent Results in the Analytic Theory of Continued Fractions », dans Nonlinear Numerical Methods and Rational Approximation, 1988 (lire en ligne), p. 299-333
• (en) Haakon Waadeland, « Some Probabilistic Remarks on the Boundary Version of Worpitzky's Theorem », dans Orthogonal functions, moment theory and continued fractions, Marcel Dekker, 1998 (lire en ligne), p. 409-416