Fonction de Baire

Les fonctions de Baire de classe ${\displaystyle \alpha }$, pour un ordinal ${\displaystyle \alpha }$ au plus dénombrable[2], forment un espace vectoriel de fonctions réelles définies sur un espace topologique, défini comme suit :

• les fonctions de classe de Baire 0 sont les fonctions continues ;
• les fonctions de classe de Baire ${\displaystyle \alpha }$ sont les limites simples de suites de fonctions de classes de Baire strictement inférieures à ${\displaystyle \alpha }$.

Les fonctions de Baire sont les fonctions qui sont de classe ${\displaystyle \alpha }$ pour un certain ${\displaystyle \alpha }$ (< ω₁).

Henri Lebesgue a démontré (pour des fonctions définies sur un segment) que toute classe de Baire pour un ordinal dénombrable contient des fonctions qui ne sont pas d'une classe inférieure, et qu'il existe des fonctions n'appartenant à aucune classe.

Toute limite uniforme d'une suite de fonctions réelles de classe ${\displaystyle \alpha }$ est de classe ${\displaystyle \alpha }$.

Certains auteurs donnent une définition plus contraignante, en excluant les fonctions de classe strictement inférieure à ${\displaystyle n}$ des fonctions de classe ${\displaystyle n}$ lorsque ${\displaystyle n}$ est fini ; on perd alors la structure d'espace vectoriel.

Andreï Kolmogorov, quant à lui, propose[3] une définition légèrement modifiée pour les fonctions à paramètres dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$, en ne s’autorisant à partir que des fonctions polynomiales (en un nombre fini de variables). Ces deux définitions sont équivalentes :

• D’une part, toute fonction polynomiale est continue, donc de classe 0 au sens standard ;
• D’autre part si f est continue sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$, on peut appliquer le théorème de Stone-Weierstraß pour trouver une suite de fonctions ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$, telle que ${\displaystyle f_{n}}$ soit à distance ${\displaystyle 2^{-n}}$ au plus de ${\displaystyle f}$ sur le cube de Hilbert ${\displaystyle [-n,n]^{\mathbb {N} }}$, compact d’après le théorème de Tychonov ; ${\displaystyle f}$ en est alors limite simple.

Aussi, par une récurrence transfinie immédiate une fonction de classe ${\displaystyle n}$ au sens de Kolmogorov l’est aussi selon notre définition standard, tandis qu’une fonction de classe ${\displaystyle n}$ au sens standard est de classe ${\displaystyle n+1}$ au sens de Kolomogorov[4]. Par conséquent, les fonctions de Baire au sens standard et au sens de Kolmogorov sont les mêmes.

De façon plus élémentaire (n’ayant pas recours à une généralisation si forte du théorème de Weierstraß ni au théorème de Tychonov), il est possible de montrer que les fonctions de Baire au sens usuel le sont au sens de Kolmogorov en deux temps : d’abord, en appliquant le même raisonnement aux ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$ pour montrer que toute fonction continue d’un nombre fini de variable réelle est de classe 1 au sens de Kolmogorov, puis ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$ étant métrisable par la distance ${\displaystyle d(u,v):=\sup _{n\in \mathbb {N} }[\min(|u_{n}-v_{n}|,2^{-n})]}$, approcher ${\displaystyle f}$ par les fonctions ${\displaystyle f_{n}:u\mapsto f(u_{0},\cdots ,u_{n},0,\cdots ,0,\cdots )}$ (identifiées à des fonctions d’un nombre fini de variables), montrant qu’elle est de classe 2.

• Classe de régularité
• Fonction continue nulle part

• (en) « Baire classes », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)
• (en) Eric W. Weisstein, « Baire Function », sur MathWorld